Упражнение 477 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases}x^2+xy=6,\\ y^2+xy=3;\end{cases}\)  \((+)\)

\(x^2 + xy + y^2 + xy = 6 + 3\)

\(x^2 + 2xy + y^2 = 9\)

\((x + y)^2 = 9\)

\(x + y = \pm\sqrt9\)

\(x + y = \pm3\)

1) \(\begin{cases}x+y = 3,\\ y^2+xy=3\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = 3 - y,\\ y^2+(3-y)y=3\end{cases}\)

\(y^2+(3-y)y=3\)

\(\cancel{y^2} + 3y - \cancel{y^2} = 3\)

\(3y = 3\)

\(y = 1\)

\(x = 3 - 1 = 2\).

2) \(\begin{cases}x+y = -3,\\ y^2+xy=3\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = -3 - y,\\ y^2+(-3-y)y=3\end{cases}\)

\(y^2+(-3-y)y=3\)

\(\cancel{y^2} - 3y - \cancel{y^2} = 3\)

\(-3y = 3\)

\(y = -1\)

\(x = -3 - (-1) = -3 + 1 =-2\).

Ответ: \((2; 1)\), \((-2; -1)\).

б) \(\begin{cases}x^2-xy=7,\\ y^2-xy=9.\end{cases}\)  \((+)\)

\(x^2 -xy + y^2 - xy = 7 + 9\)

\(x^2 - 2xy + y^2 = 16\)

\((x - y)^2 = 16\)

\(x - y = \pm \sqrt {16}\)

\(x - y = \pm4\)

1) \(\begin{cases}x-y = 4,\\ y^2-xy=9\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = y+4,\\ y^2-(y+4)y=9\end{cases}\)

\(y^2-(y+4)y=9\)

\(\cancel{y^2} - \cancel{y^2} - 4y = 9\)

\(-4y = 9\)

\(y = -\frac94\)

\(y = -2,25\)

\(x = -2,25 + 4 = 1,75\)

2) \(\begin{cases}x-y = -4,\\ y^2-xy=9\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = y-4,\\ y^2-(y-4)y=9\end{cases}\)

\(y^2-(y-4)y=9\)

\(\cancel{y^2} - \cancel{y^2} + 4y = 9\)

\(4y = 9\)

\(y = \frac94\)

\(y = 2,25\)

\(x = 2,25 - 4 = -1,75\)

Ответ: \((1,75; -2,25)\), \((-1,75; 2,25)\)

Пояснения:

В каждом пункте сначала используем способ сложения при решении систем уравнений. В результате решение системы сводится к решению совокупности систем уравнений. Каждую систему решаем способом подстановки.

Используемые приемы:

- квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- неполное квадратное уравнение

\(x^2 = a\) имеет корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt a\).

Пусть \(x\) г — масса исходного раствора; \(y\) г — масса нового раствора (\(x>0\), \(y > 0\)). Тогда

\[ y = x + 150. \]

Концентрация соли в исходном растворе: \( \frac{50}{x}. \)

Концентрация соли в новом растворе: \( \frac{50}{y}. \)

По условию концентрация уменьшилась на \(7,5\% = 0,075\), значит:

\[ \frac{50}{x} - \frac{50}{y} = 0,075. \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = x + 150,\\ \frac{50}{x} - \frac{50}{y} = 0,075 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} y = x + 150,\\ \frac{50}{x} - \frac{50}{x + 150} = 0,075 \end{cases} \]

\(\frac{50}{x} - \frac{50}{x + 150} = 0,075\)  \(/\times x(x + 150)\)

\(50(x + 150) - 50x = 0,075x(x + 150)\)

\(\cancel{50x} + 7500 - \cancel{50x} = 0,075x^2 + 11,25x\)

\(7500 = 0,075x^2 + 11,25x\)

\( 0,075x^2 + 11,25x - 7500 = 0\) \(/\times 40\)

\(3x^2 + 450x - 300\,000 = 0\)   \(/ : 3\)

\(x^2 + 150x - 100\,000 = 0\)

\(D = 150^2 - 4\cdot1\cdot(-100\,000) =\)

\(= 22\,500 + 400\,000= \)

\(=422\,500 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{422\,500} = 650\).

\(x_1 = \frac{-150 + 650}{2\cdot1} = \frac{500}{2} = 250\).

\(x_2 = \frac{-150 - 650}{2\cdot1} = \frac{-800}{2} = -400\) - не удовлетворяет условию.

1) \(250\) г - масса раствора.

2) \(250 - 50 = 200\) (г) - масса воды в растворе.

3) \(\frac{50}{250}\cdot100 = \frac15\cdot100 = 20\%\) - концентрация раствора.

Ответ: в исходном растворе было 200 г воды, концентрация раствора составляла 20%.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1. Концентрация раствора:

\[ c = \frac{m_{\text{вещества}}}{m_{\text{раствора}}}\cdot 100\%. \]

2. Масса нового раствора равна сумме массы исходного раствора и добавленной воды.

3. Уменьшение концентрации на 7,5% означает разность концентраций.

4. Система уравнений с двумя переменными решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.

5. Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).

Пояснение шагов:

В задаче неизвестны массы исходного и нового растворов, поэтому они обозначены через \(x\) и \(y\). Первое уравнение отражает добавление воды, второе — изменение концентрации.

После подстановки получили квадратное уравнение, из которого нашли массу исходного раствора, учитывая то, что масса не может быть отрицательным числом, а затем нашли массу воды и концентрацию.