Упражнение 388 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x^2 - 4 = 0, \\ xy = 6 \end{cases}\)

\(x^2 - 4 = 0\)

\((x - 2)(x + 2) = 0\)

\(x + 2 = 0\) или \(x - 2 = 0\)

\(x = -2\)            \(x = 2\)

1) Если \(x = 2\), то

\(2y = 6\)

\(y = \frac62\)

\(y = 3\).

2) Если \(x = -2\), то

\(-2y = 6\),

\(y = -\frac62\)

\(y = -3\).

Ответ: \((2; \, 3)\), \((-2; \, -3)\).

б) \(\begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0, \\ y^2 - 6y + 5 = 0 \end{cases}\)

1) \(x^2 - 5x + 6 = 0\)

\(D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 = \)

\(=25 - 24 = 1 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{1}=1\).

\(x_1 = \frac{5 + 1}{2\cdot1} = \frac62 = 3\).

\(x_2 = \frac{5 - 1}{2} = \frac42 = 2\).

2) \(y^2 - 6y + 5 = 0\)

\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot5 = \)

\(= 36 - 20 = 16 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{16} = 4\).

\(y_1 = \dfrac{6 + 4}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5.\)

\(y_2 = \dfrac{6 - 4}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1.\)

Ответ: \((2; 5)\), \((2; 1)\), \((3; 5)\), \((3; 1)\).

Пояснения:

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство. Решить систему уравнений - это значит найти все ее решения или убедиться, что их нет.

Пункт а.

Первое уравнение даёт два возможных значения \(x\). Подставляя их во второе уравнение \(xy=6\), получаем соответствующие значения \(y\). Система даёт две пары решений.

Пункт б.

Уравнения независимы: каждое содержит только одну переменную, поэтому решаем их отдельно. Каждое уравнение даёт два корня, значит решений — четыре пары.

а) \((18x - 36)(x - 7) > 0\)

\(18(x - 2)(x - 7) > 0\)  \(/ : 18\)

\((x - 2)(x - 7) > 0\)

\((x - 2)(x - 7) = 0\)

\(x - 2 =0\)  или  \(x - 7 = 0\)

\(x = 2\)                 \(x = 7\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 2) \cup (7; +\infty)\).

б) \((x - 7{,}3)(9{,}8 - x) > 0\)

\((x - 7{,}3)(9{,}8 - x) > 0\)

\(x - 7,3 = 0\)  или \(9,8 - x = 0\)

\(x = 7,3\)               \(x = 9,8\)

Ответ: \(x \in(7,3; 9,8)\).

в) \((x + 0{,}8)(4 - x)(x - 20) < 0\)

\((x + 0{,}8)(4 - x)(x - 20) = 0\)

или  \(x + 0,8 = 0\)

        \(x = -0,8\)

или  \(4 - x = 0\)

        \(x = 4\)

или  \(x - 20 = 0\)

        \(x = 20\)

Ответ: \(x \in (-0,8; 4) \cup (20; +\infty)\).

г) \((10x + 3)(17 - x)(x - 5) \ge 0\)

\((10x + 3)(17 - x)(x - 5) = 0\)

или \(10x + 3 = 0\)

       \(10x = -3\)

        \(x = -\frac{3}{10}\)

        \(x = -0,3\)

или \(17 - x = 0\)

      \(x = 17\)

или \(x - 5 = 0\)

       \(x = 5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -0,3] \cup[5; 17]\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.