Упражнение 386 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} (x - 2)(y + 3) = 160, \\ y - x = 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (x - 2)(x + 1 + 3) = 160, \\ y = x + 1 \end{cases}\)

1) \((x - 2)(x + 1 + 3) = 160\)

\((x - 2)(x + 4) = 160\)

\(x^2 + 4x - 2x - 8 - 160 = 0\)

\(x^2 + 2x - 168 = 0\)

\(D = 2^2 - 4\cdot 1 \cdot (-168) =\)

\(=4 + 672 = 676 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{676} = 26\).

\(x_1 = \dfrac{-2 + 26}{2\cdot1} = \dfrac{24}{2} = 12.\)

\(x_2 = \dfrac{-2 - 26}{2\cdot1} = \dfrac{-28}{2} = -14.\)

1) Если \(x = 12\), то

\(y = 12 + 1 = 13.\)

2) Если \(x = -14\), то

\(y = -14 + 1 = -13.\)

Ответ: \((12; 13)\), \((-14; -13)\).

б) \(\begin{cases} (x - 1)(y + 10) = 9, \\ x - y = 11 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (y + 11 - 1)(y + 10) = 9, \\ x = y + 11 \end{cases}\)

1) \((y + 11 - 1)(y + 10) = 9\)

\((y + 10)(y + 10) = 9\)

\((y + 10)^2 = 9\)

\(y^2 + 20x + 100 - 9 = 0\)

\(y^2 + 20x + 91 = 0\)

\(D = 20^2 - 4\cdot1\cdot91 =\)

\(=400 = 364 = 36 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{36} = 6\).

\(y_1 = \frac{-20 + 6}{2\cdot1} = \frac{-14}{2} = -7\).

\(y_2 = \frac{-20 - 6}{2\cdot1} = \frac{-26}{2} = -13\).

1) Если \(y = -7\), то

\(x = -7 + 11 = 4\).

2) Если \(y = -13\), то

\(x = -13 + 11 = -2\).

Ответ: \((4; -7)\), \((-2; -13)\).

Пояснения:

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство. Решить систему уравнений - это значит найти все ее решения или убедиться, что их нет.

Чтобы решить системы уравнений, использовали метод подстановки:

1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;

2) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;

5) вычислить значение другой переменной.

Квадратные уравнения вида

\( ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)

а) \((x + 1{,}2)(6 - x)(x - 4) > 0\)

\((x + 1{,}2)(6 - x)(x - 4) = 0\)

или  \(x + 1,2 = 0\)

        \(x = -1,2\)

или  \(6 - x = 0\)

        \(x = 6\)

или  \(x - 4 = 0\)

        \(x = 4\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -1,2) \cup (4; 6)\).

б) \(\left(\dfrac{1}{3} - x\right)\left(\dfrac{1}{2} - x\right)\left(\dfrac{1}{7} - x\right) < 0\)

\(\left(\dfrac{1}{3} - x\right)\left(\dfrac{1}{2} - x\right)\left(\dfrac{1}{7} - x\right) = 0\)

или  \(\dfrac{1}{3} - x = 0\)

        \(x = \dfrac{1}{3}\)

или  \(\dfrac{1}{2} - x = 0\)

        \(x = \dfrac{1}{2}\)

или  \(\dfrac{1}{7} - x = 0\)

        \(x = \dfrac{1}{7}\)

Ответ: \(x \in \left(\frac17; \frac13\right) \cup \left(\frac12; +\infty\right)\).

в) \((x + 0{,}6)(1{,}6 + x)(1{,}2 - x) > 0\)

\((x + 0{,}6)(1{,}6 + x)(1{,}2 - x) = 0\)

или \(x + 0,6 = 0\)

       \(x = -0,6\)

или \(1,6 + x = 0\)

       \(x = -1,6\)

или \(1,2 - x = 0\)

       \(x = 1,2\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -1,6) \cup (-0,6; 1,2)\).

г) \((1{,}7 - x)(1{,}8 + x)(1{,}9 - x) < 0\).

\((1{,}7 - x)(1{,}8 + x)(1{,}9 - x) = 0\).

или \(1,7 - x = 0\)

       \(x = 1,7\)

или \(1,8 + x = 0\)

       \(x = -1,8\)

или \(1,9 - x = 0\)

       \(x = 1,9\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -1,8) \cup (1,7; 1,9)\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.