Упражнение 446 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2-6x<0\)

\(y = x^2-6x\) - парабола, ветви вверх.

\( x^2-6x=0\)

\(x(x-6)=0 \)

\(x=0\)  или  \(x - 6 = 0\)

                    \(x=6\)

Ответ: \(x \in (0; 6)\).

б) \(8x+x^2\ge0\)

\(y = x^2 + 8x\) - парабола, ветви вверх.

\(x^2 + 8x=0\)

\(x(x + 8)=0\)

\(x=0\)  или  \(x + 8 = 0\)

                    \(x=-8\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -8] \cup [0; +\infty)\).

в) \(x^2\le 4 \)

\(x^2 - 4\le 0 \)

\(y = x^2 - 4\) - парабола, ветви вверх.

\(x^2 - 4 = 0\)

\(x^2 = 4\)

\(x = \pm\sqrt4\)

\(x = \pm2\)

Ответ: \(x \in [-2; 2]\).

г) \( x^2>6 \)

\( x^2 - 6 > 0 \)

\(y = x^2 - 6\) - парабола, ветви вверх.

\(x^2 - 6 = 0\)

\(x^2 = 6\)

\(x = \pm\sqrt6\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -\sqrt6) \cup (\sqrt6; +\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx > 0\), \(ax^2 + bx < 0\),

\(ax^2 + c > 0\), \(ax^2 + c < 0\):

1) находим корни уравнений

\(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 + c = 0\).

2) отмечаем корни уравнений на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx > 0\) или \(ax^2 + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx < 0\) или \(ax^2 + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Корни уравнения \(ax^2 + bx\) находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

Корни уравнения \(x^2 = c\):

\(x_1 = \sqrt c\) и \(x_2 = -\sqrt c\).

\( \begin{cases} y=2x^2-5x+1, \\ 2x+y+3=0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2x-3=2x^2-5x+1, \\ y=-2x-3 \end{cases} \)

\( -2x-3=2x^2-5x+1 \)

\(2x^2-5x+1 + 2x + 3 = 0\)

 \( 2x^2-3x+4=0 \)

\(a = 2\),  \(b= -3\),  \(c = 4\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-3)^2-4\cdot2\cdot4=\)

\(=9-32=-23<0 \) - корней нет, значит, парабола \(y=2x^2-5x+1\) и прямая \(2x+y+3=0\) не пересекаются.

Пояснения:

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций без их построения, нужно решить систему из двух уравнений, соответствующих этим функциям.

При решении системы использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

После подстановки и преобразований получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac < 0\), которое не имеет корней, а это говорит о том, графики не пересекаются.