Решение систем линейных уравнений методом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения:

1) подобрав "выгодные" множители (если это необходимо), преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;

5) вычислить значение другой переменной;

6) записать ответ.

Пример 1:

Решите систему уравнений методом сложения:

Решение:

В исходной системе коэффициенты при переменной - противоположные числа, значит, можно получить уравнение с одной переменной, сложив почленно левые и правые части уравнений системы:

В левой части полученного уравнения приводим подобные слагаемые, учитывая то, что сумма противоположных чисел равна нулю, получаем:

Мы получили линейное уравнение, которое имеет единственный корень или, разделив числитель на знаменатель,

Подставим найденное значение переменной в любое из уравнений системы, например в первое. Получим:

Перенесем слагаемое 10 из левой части уравнения в правую, изменив при этом его знак:

 или

Мы получили линейное уравнение, которое имеет единственный корень: или, разделив числитель на знаменатель,

Пара чисел (1; 10) - искомое решение системы.

Обратите внимание, при записи решения системы в скобках на первом месте пишут значение , на втором - значение .

Пример 2:

Решите систему уравнений методом сложения:

Решение:

Если мы сложим почленно левые и правые части уравнений системы, то у нас получится уравнение с двумя переменными. Следовательно, исходную систему еще нельзя решить методом сложения.

Умножим обе части первого уравнения на 4. Получим систему, решения которой совпадают с решениями исходной системы:

Для такой системы метод сложения уже будет эффективным, т.к. коэффициенты при переменной - противоположные числа, значит, можно получить уравнение с одной переменной, сложив почленно левые и правые части уравнений системы:

В левой части полученного уравнения приводим подобные слагаемые, учитывая то, что сумма противоположных чисел равна нулю, получаем:

Мы получили линейное уравнение, которое имеет единственный корень: или, разделив числитель на знаменатель,

Подставим найденное значение переменной в любое из уравнений системы, например в первое. Получим:

или, выполнив умножение,

Перенесем слагаемое 4 из левой части уравнения в правую, изменив при этом его знак:

или

Мы получили линейное уравнение, которое имеет единственный корень: или, раздели числитель на знаменатель,

Пара чисел (1; 2) - искомое решение системы.