Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№469 учебника 2023-2026 (стр. 138):
Решите уравнение:
а) \((x+2)^2 + 9(x+2) + 20 = 0\);
б) \((x-5)^2 + 2(x-5) - 63 = 0.\)
№469 учебника 2014-2022 (стр. 124):
Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?
№469 учебника 2023-2026 (стр. 138):
№469 учебника 2014-2022 (стр. 124):
Вспомните:
№469 учебника 2023-2026 (стр. 138):
а) \((x+2)^2 + 9(x+2) + 20 = 0\);
Пусть \(x + 2=t\).
\( t^2 + 9t + 20 = 0\)
\(a=1, b=9, c=20\)
\( D =b^2-4ac=\)
\(9^2 - 4\cdot1\cdot20 = 81 - 80 = 1>0 \) - уравнение имеет 2 корня.
\[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D }{2a}, \sqrt D =1.\]
\( t_1 = \frac{-9 + 1}{2} = -4\)
\(t_2 = \frac{-9 - 1}{2} = -5. \)
1) Если \(t=-4,\) то
\( x + 2 = -4\)
\( x = -4-2\)
\(x = -6.\)
2) Если \(t=-5,\) то
\( x + 2 = -5\)
\( x = -5-2\)
\(x = -7. \)
Ответ: \(x = -6, x= -7.\)
б) \((x-5)^2 + 2(x-5) - 63 = 0.\)
Пусть \(x - 5=t\).
\( t^2 + 2t - 63 = 0. \)
\(a=1, b=2, c=-63\)
\( D =b^2-4ac=\)
\(=2^2 - 4\cdot1\cdot(-63) =\)
\(=4 + 252 = 256. \)
\[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D }{2a}, \sqrt D =16.\]
\( t_1 = \frac{-2 + 16}{2} = 7\)
\( t_2 = \frac{-2 - 16}{2} = -9\)
1) Если \(t=7,\) то
\( x - 5 = 7\)
\( x = 7+5\)
\(x = 12\)
2) Если \(t=-9,\) то
\( x - 5 = -9\)
\( x= -9+5\)
\(x = -4.\)
Ответ: \(x = 12, x=-4.\)
Пояснения:
1. В обоих уравнениях удобно сделать замену вида \( x + a=t\), чтобы избавиться от скобок и привести выражение к стандартному квадратному уравнению.
2. После замены получаются обычные квадратные уравнения:
\( t^2 + 9t + 20 = 0\)
\( t^2 + 2t - 63 = 0, \) которые решаются с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \) где \(D=b^2-4ac\)
3. После нахождения значений \(t\) нужно вернуться к исходной переменной \(x\), подставив \[ x + 2=t \quad \text{или} \quad x - 5=t. \]
Таким образом, каждое уравнение имеет по два корня.
№469 учебника 2014-2022 (стр. 124):
\( 3\text{ ч }45\text{ мин} = 3\frac{45}{60}\text{ ч } = 3\frac{3}{4}\text{ ч } =\)
\(=\frac{15}{4}\text{ ч } \).
Пусть \(x\) ч потребуется 1 экскаватору, а \(y\) ч - 2 экскаватору (\(x>0\) и \(y > 0\)).
По условию первый экскаватор выполняет работу на 4 часа быстрее:
\[ y = x + 4. \]
Производительность 1 экскаватора \( \frac{1}{x}\), а второго \(\frac{1}{y}. \)
Совместно за \(\frac{15}{4}\) ч они выполняют всю работу:
\[ \frac{15}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1. \]
Составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} y = x + 4,\\ \frac{15}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} y = x + 4,\\ \frac{15}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}\right)=1 \end{cases} \]
\( \frac{15}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+4}\right)=1 \) \(/\times4\)
\( \frac{15}{x}+\frac{15}{x+4}=4 \) \(/\times x(x + 4)\)
\(15(x+4) + 15x = 4x(x+4)\)
\(15x + 60 + 15x = 4x^2 + 16x\)
\(30x + 60 = 4x^2 + 16x\)
\(4x^2 + 16x - 30x - 60 = 0\)
\(4x^2 - 14x - 60 = 0\) \(/ : 2\)
\[ 2x^2-7x-30=0 \]
\( D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot(-30)=\)
\(=49+240=289 > 0\) - два корня.
\( \sqrt{289}=17. \)
\( x_1=\frac{7 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6\).
\( x_2=\frac{7 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2,5\) - не удовлетворяет условию.
Если \(x = 6\), то
\[ y=6+4=10. \]
Ответ: первому экскаватору требуется \(6\) ч, второму — \(10\) ч.
Пояснения:
Правила и формулы:
1. Если работа выполняется за время \(t\), то производительность равна \(\dfrac{1}{t}\) работы за 1 час.
2. При совместной работе производительности складываются:
\[ v_{\text{общ}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}. \]
3. Если за время \(T\) выполнена вся работа, то
\[ T\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1. \]
4. Система с двумя переменными решается методом подстановки. Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, получаем квадратное уравнение.
5. Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\).
Пояснение шагов:
Сначала ввели две переменные \(x\) и \(y\) — времена работы каждого экскаватора. Разность во времени дала уравнение \(y=x+4\).
Затем использовали условие о совместной работе: за \(\frac{15}{4}\) часа выполнена вся работа, значит произведение времени на суммарную производительность равно 1.
После подстановки получили квадратное уравнение, из которого выбрали положительный корень, потому что время не может быть отрицательным.
Вернуться к содержанию учебника