Упражнение 266 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2x^2 + 13x - 7 > 0\)

\(y = 2x^2 + 13x - 7 \) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\).

\(2x^2 + 13x - 7 = 0\)

\(D = 13^2 - 4\cdot 2 \cdot (-7) =\)

\(=169 + 56 = 225 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{225} = 15\)

\(x_{1} = \dfrac{-13 - 15}{2\cdot2} = \dfrac{-28}{4} = -7.\)

\(x_{2} =\dfrac{-13 + 15}{2\cdot2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} = 0,5.\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -7) \cup (0,5; +\infty)\).

б) \(-9x^2 + 12x - 4 < 0\)

\(y = -9x^2 + 12x - 4\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -9 < 0\).

\(D = 12^2 - 4\cdot(-9)\cdot(-4) = \)

\(=144 - 144 = 0\) - 1 корень.

\(x = \dfrac{-12}{2\cdot(-9)} = \dfrac{-12}{-18} = \dfrac{2}{3}.\)

Ответ: \(x \in (-\infty;\, \frac23) \cup (\frac23; \, +\infty)\).

в) \(6x^2 - 13x + 5 \le 0\)

\(y = 6x^2 - 13x + 5\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 6 > 0\).

\(6x^2 - 13x + 5 = 0\)

\(D = (-13)^2 - 4\cdot 6 \cdot 5 =\)

\(=169 - 120 = 49 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{49} = 7\).

\(x_{1} = \dfrac{13 - 7}{12} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}.\)

\(x_{2} = \dfrac{13 + 7}{12} = \dfrac{20}{12} = \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3}.\)

Ответ: \(x \in \left[\frac12; \, 1\frac23\right]\).

г) \(-2x^2 - 5x + 18 \le 0\)

\(y=-2x^2 - 5x + 18\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = - 2 < 0\).

\(-2x^2 - 5x + 18 = 0\)

\(D = (-5)^2 - 4\cdot(-2)\cdot 18 =\)

\(=25 + 144 = 169 >0\) - 2 корня.

\(\sqrt{169} = 13\).

\(x_{1} = \dfrac{5 - 13}{-4} = \dfrac{-8}{-4} = 2.\)

\(x_{2} = \dfrac{5 + 13}{-4} = \dfrac{18}{-4} = -\dfrac{9}{2} = -4,5.\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -4,5] \cup [2; +\infty)\).

д) \(3x^2 - 2x > 0\)

\(y = 3x^2 - 2x \) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 3 > 0\).

\(3x^2 - 2x = 0\)

\(x(3x-2) = 0\)

\(x=0\)   или   \(3x-2=0 \)

                       \(3x = 2\)

                       \(x=\dfrac{2}{3}\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 0) \cup (\frac23; +\infty)\).

е) \(8 - x^2 < 0\)

\(y = 8 - x^2\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = - 1 < 0\).

\(8 - x^2 = 0\)

\(-x^2 = -8\)

\(x^2 - 8\)

\(x = \pm \sqrt8\)

\(x = \pm \sqrt{4\cdot2}\)

\( x=\pm2\sqrt{2}\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \ge 0\),

\(ax^2 + bx + c < 0\), \(ax^2 + bx + c \le 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \ge 0\)) или ниже оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \le 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

В случае, когда коэффициент \(b = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + c\), корни которого: \(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).

а) \((8x-1)(2x-3)-(4x-1)^{2}=38\)

\(16x^{2}-24x-2x+3-(16x^{2}-8x+1)=38\)

\(\cancel{16x^{2}}-26x+3-\cancel{16x^{2}}+8x-1=38\)

\(-18x+2=38\)

\(-18x=38-2\)

\(-18x=36\)

\(x = -\frac{36}{18}\)

\(x=-2\)

Ответ: \(x=-2\).

б) \(\dfrac{(15x-1)(1+15x)}{3}=2\dfrac{2}{3}\)

\(\dfrac{(15x-1)(1+15x)}{3}=\dfrac{8}{3}\)   \(/\times 3\)

\((15x-1)(1+15x)=8\)

\((15x-1)(15x+1)=8\)

\(225x^{2}-1=8\)

\(225x^{2}=8 + 1\)

\(225x^{2}=9\)

\(x^{2}=\frac{9}{225}\)

\(x=\pm\sqrt{\dfrac{9}{225}}\)

\(x=\pm\dfrac{3}{15}\)

\(x=\pm\dfrac{1}{5}\)

\(x=\pm0,2\)

Ответ: \(x=\pm0,2\).

в) \(0{,}5y^{3}-0{,}5y(y+1)(y-3)=7\)  \(/\times 2\)

\(y^{3}-y(y+1)(y-3)=14\)

\(y^{3}-y(y^2-3y+y-3) = 14\)

\(y^{3}-y(y^2-2y-3) = 14\)

\(\cancel{y^3} - \cancel{y^3} +2y^2 + 3y = 14\)

\(2y^2 + 3y - 14=0\)

\(a = 2\),  \(b = 3\),  \(c = -14\)

\(D=b^2 -4ac=3^{2}-4\cdot2\cdot(-14)=\)

\(=9 + 112 = 121\).

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt D = 11\).

\(y_1=\dfrac{-3+11}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2.\)

\(y_2=\dfrac{-3-11}{2\cdot2}=\frac{-14}{4}=-\frac72=-3,5.\)

Ответ: \(y = -3,5,\)   \(y = 2.\)

г) \(x^{4}-x^{2}=\dfrac{(1+2x^{2})(2x^{2}-1)}{4}\) \(/\times4\)

\(4(x^{4} - x^{2}) = (2x^{2} + 1)(2x^{2} - 1)\)

\(4x^{4} - 4x^{2} =4x^{4} - 1\)

\(\cancel{4x^{4}} -4x^{2} - \cancel{4x^{4}} = -1\)

\(-4x^{2} = -1\)

\(x^2 = \frac{-1}{-4}\)

\(x^2 = \frac14\)

\(x = \pm \sqrt{\frac14}\)

\(x = \pm \frac12\)

Ответ: \(x = \pm \frac{1}{2}\).

Пояснения:

В каждом уравнении сначала выполняем преобразования (раскрываем скобки, избавляемся от знаменателей, приводим подобные), чтобы упростить уравнение.

В пункте а) сначала раскрываем скобки и приводим подобные члены, получая линейное уравнение \(ax = b\), корень которого \(x = \frac{b}{a}\).

В пункте б) правая часть переводится в неправильную дробь \(\dfrac{8}{3}\), после умножения уравнения на 3 видно, знаменатель уходит. Затем в левой части уравнения применяем формулу разности квадратов, получаем неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда

\(x = \sqrt{\frac{b}{a}}\).

В пункте в) удобнее убрать множитель \(0{,}5\), умножив уравнение на 2. Затем раскрываем произведение

\(y(y+1)(y-3)\), сокращаются кубические члены, и остаётся квадратное уравнение вида

\(ay^2 + by + c = 0\), которое решаем через дискриминант.

В пункте г) в учебнике допущена опечатка, в левой части уравнения вместо умножения должно быть вычитание. При решении уравнения сначала умножаем уравнение на 4, после чего знаменатель уходит. Затем в правой части уравнения применяем формулу разности квадратов двух выражений, приводим подобные и получаем неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда

\(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x = \sqrt{\frac{b}{a}}\).