Упражнение 262 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{2ab + 2by + ay + y^{2}}{2ab - 2by + ay + y^{2}}=\)

\(=\dfrac{ 2b(a + y) + y(a + y) }{2b(a - y) + y(a + y)}=\)

\(=\dfrac{\cancel{(a + y)}(2b + y) }{\cancel{(a + y)}(2b - y)}=\frac{2b + y}{2b - y}. \)

б) \(\dfrac{9x^{2} + 6x + 4}{27x^{3} - 8}=\)

\(=\dfrac{\cancel{9x^{2} + 6x + 4}}{(3x - 2)\cancel{(9x^{2} + 6x + 4)}}=\)

\(= \frac{1}{3x - 2}. \)

Пояснения:

1. Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

2. В пункте а) используется вынесение общего множителя и группировка.

3. В пункте б) знаменатель — разность кубов. Формула разности кубов: \[ a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}). \]

4. После разложения одинаковые множители сокращаются.

а) \(y=\sqrt{0{,}1x-2}\);

\(0{,}1x-2 \ge 0\)

\(0{,}1x \ge 2\)

\(x \ge 20\)

Ответ: \(D(y)=[20; +\infty).\)

б) \(y=\sqrt[4]{5-2x}\);

\(5-2x \ge 0\)

\(-2x \ge -5\)

\(x \le \frac{5}{2}\)

\(x \le 2,5\)

Ответ: \(D(y)=(-\infty; 2,5].\)

в) \(y=\sqrt[3]{8x+1}\)

\(8x+1 \in \mathbb{R}\)

любое \(x\)

Ответ: \(D(y)=(-\infty; +\infty).\)

Пояснения:

Основные правила:

1. Для корня чётной степени:

\( \sqrt[2n]{A} \) существует, если  \(A \ge 0 \)

2. Для корня нечётной степени:

\( \sqrt[2n+1]{A}\) существует при любых \(A \)

Разбор:

а) Квадратный корень — это корень чётной степени, значит подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ 0{,}1x-2 \ge 0 \]

Решаем неравенство:

\[ 0{,}1x \ge 2 \Rightarrow x \ge 20 \]

б) Корень четвёртой степени — чётный:

\[ 5-2x \ge 0 \]

При делении на отрицательное число знак меняется:

\[ x \le 2,5\]

в) Кубический корень (нечётная степень) определён для всех значений выражения, поэтому область определения — все действительные числа.