Упражнение 264 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 90

а) \(x^{2} + 2x - 48 < 0\)

\(y = x^{2} + 2x - 48\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\).

\(x^{2} + 2x - 48 = 0\)

\(D = 2^{2} - 4\cdot1\cdot(-48) =\)

\(=4 + 192 = 196 > 0\) - 2 корня.

\( \sqrt{D} = 14.\)

\(x_{1} = \dfrac{-2 + 14}{2} =\frac{12}{2} = 6.\)

\(x_{2} = \dfrac{-2 - 14}{2} =\frac{-16}{2} = -8.\)

Ответ: \(x\in(-8;\, 6).\)

б) \(2x^{2} - 7x + 6 > 0\)

\(y = 2x^{2} - 7x + 6\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\).

\(2x^{2} - 7x + 6 = 0.\)

\(D = (-7)^{2} - 4\cdot2\cdot6 =\)

\(=49 - 48 = 1 > 0\) - 2 корня.

\( \sqrt{D} = 1.\)

\(x_{1} = \dfrac{7 + 1}{4} =\frac{8}{4} = 2.\)

\(x_{2} = \dfrac{7 - 1}{4} =\frac{6}{4} = \frac32= 1,5.\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 1,5) \cup (2;+\infty).\)

в) \(-x^{2} + 2x + 15 > 0\)

\(y=-x^{2} + 2x + 15\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -1 < 0\).

\(-x^{2} + 2x +15 = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(x^{2} - 2x -15 = 0\) 

\(D = (-2)^{2} - 4\cdot1\cdot(-15) = \)

\(=4 + 60 = 64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D} = 8.\)

\(x_{1} = \dfrac{2 + 8}{2} =\frac{10}{2} = 5.\)

\(x_{2} = \dfrac{2 - 8}{2} =\frac{-6}{2} = -3.\)

Ответ: \((-3;\, 5).\)

г) \(-5x^{2} + 11x - 6 > 0\)

\(y = -5x^{2} + 11x - 6\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = - 5 < 0\).

\(-5x^{2} + 11x - 6 = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(5x^{2} - 11x + 6 = 0\)

\(D = (-11)^{2} - 4\cdot5\cdot6 =\)

\(=121 - 120 = 1 > 0\) - 2 корня.

\( \sqrt{D} = 1.\)

\(x_{1} = \dfrac{11 + 1}{2\cdot5} = \frac{12}{10} = 1,2.\)

\(x_{2} = \dfrac{11 - 1}{2\cdot5} = \frac{10}{10} = 1.\)

Ответ: \(x \in (1; \, 1,2)\).

д) \(4x^{2} - 12x + 9 > 0\)

\(y = 4x^{2} - 12x + 9\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 4 > 0\).

\(4x^{2} - 12x + 9 = 0\)

\(D = (-12)^{2} - 4\cdot4\cdot9 =\)

\(=144 - 144 = 0\) - 1 корень.

\(x = \frac{-12}{2\cdot4} = \frac{12}{8} = \frac32=1,5\).

Ответ: \(x \in (-\infty;\, 1,5) \cup (1,5; \, +\infty)\).

е) \(25x^{2} + 30x + 9 < 0\)

\(y = 25x^{2} + 30x + 9\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 25 > 0\).

\(25x^{2} + 30x + 9 = 0\)

\(D = 30^2 - 4\cdot 25 \cdot 9 =\)

\( = 900 - 900 = 0\) - 1 корень.

\(x = \frac{-30}{2\cdot25} = -\frac{30}{50}=-\frac35 = -0,6\).

Ответ: нет решения.

ж) \(-10x^{2} + 9x > 0\)

\(y = -10x^{2} + 9x\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -10 < 0\).

\(-10x^{2} + 9x=0\)

\(x(-10x + 9) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(-10x + 9 = 0\)

                      \(-10x = -9\)

                      \(x = \dfrac{-9}{-10}\)

                      \(x = 0,9\)

Ответ: \(x \in (0;\,0,9).\)

з) \(-2x^{2} + 7x < 0\)

\(y = -2x^{2} + 7x \) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -2 < 0\).

\(-2x^{2} + 7x = 0\)

\(x(-2x + 7) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(-2x + 7 = 0\)

                       \(-2x = -7\)

                       \( x = \dfrac{-7}{-2}\)

                       \( x = 3,5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 0\,) \cup (3,5;\, +\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).