Упражнение 772 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} y = x^2-6x+8,\\ x + y = 4\end{cases}\)

\(\begin{cases} 4-x = x^2-6x+8,\\ y = 4 - x\end{cases}\)

\(x^2-6x+8=4-x\)

\(x^2-6x+8-4+x=0\)

\(x^2-5x+4=0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = 4\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2-4\cdot1\cdot4=\)

\(=25-16=9 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{9} = 3\)

\(x_{1}=\dfrac{5+3}{2\cdot1} = \dfrac{8}{2} = 4\)

\(x_{2}=\dfrac{5-3}{2\cdot1} = \dfrac{2}{2} = 1\)

Если \(x = 4\), то

\(y = 4 - 4 = 0\).

Если \(x = 1\), то

\(y = 4 - 1 = 3\).

\((4;0)\), \((1;3)\) - точки пересечения графиков.

1) \(y = x^2-6x+8\)

\(y = (x^2-6x+9) - 1\)

\(y = (x-3)^2 - 1\) - парабола, ветви вверх, вершина в точке \((3; -1)\)

2) \( y = 4 - x\) - прямая.

б) \(\begin{cases} x+y=4,\\[4pt] y = \dfrac3x\end{cases}\)

\(\begin{cases} x+\dfrac3x=4,\\[4pt] y = \dfrac3x\end{cases}\)

\(x+\dfrac3x=4\)   \(/\times x\)

ОДЗ: \(x \neq 0\)

\(x^2 + 3 = 4x\)

\(x^2 - 4x + 3 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = 3\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot3 =\)

\(=16 - 12 = 4 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{4} = 2\)

\(x_{1}=\frac{4 + 2}{2\cdot1}=\frac{6}{2} = 3\)

\(x_{2}=\frac{4 - 2}{2\cdot1}=\frac{2}{2} = 1\)

Если \(x = 3\). то

\(y = \frac33 = 1\).

Если \(x = 1\). то

\(y = \frac31 = 3\).

\((3;1)\), \((1;3)\) - точки пересечения графиков.

1) \( y = 4 - x\) - прямая.

2) \(y = \dfrac3x\) - гипербола, I и III четверть.

в) \(\begin{cases} x^2+y^2 = 4,\\ (x - 3)^2 + y^2 = 1\end{cases}\)

\(\begin{cases} y^2 = 4 - x^2,\\ (x - 3)^2 +(4 - x^2) = 1\end{cases}\)

\((x - 3)^2 +(4 - x^2) = 1\)

\(\cancel{x^2} - 6x + 9 + 4 - \cancel{x^2} = 1\)

\(-6x + 13 = 1\)

\(-6x = 1 - 13\)

\(-6x = -12\)

\(x = \frac{-12}{-6}\)

\(x = 2\)

\(y^2 = 4 - 2^2\)

\(y^2 = 4 - 4\)

\(y^2 = 0\)

\(y = 0\)

\((2;0)\) - точка пересечения графиков.

1) \( x^2+y^2 = 4\) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом \(r = 2\).

\( (x-3)^2+y^2 = 1\) - окружность с центром в точке \((3; 0)\) и радиусом \(r = 1\).

г) \(\begin{cases} (x-1)^2+(y-2)^2 = 4,\\ x + 2y = 3\end{cases}\)

\(\begin{cases} (3-2y-1)^2+(y-2)^2 = 4,\\ x = 3-2y\end{cases}\)

\( (3-2y-1)^2+(y-2)^2 = 4\)

\((2-2y)^2+(y-2)^2 = 4\)

\(4 - 8y + 4y^2 + y^2 - 4y + 4 - 4 = 0\)

\(5y^2 - 12y + 4 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -12\),  \(c = 4\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-12)^2-4\cdot5\cdot4=\)

\(=144-80=64 > 0\) - два действительных корня.

\(y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{64} = 8\)

\(y_{1}=\frac{12 + 8}{2\cdot5}=\frac{20}{10} = 2\)

\(y_{2}=\frac{12 - 8}{2\cdot5}=\frac{4}{10} = 0,4\)

Если \(y = 2\), то

\(x = 3 - 2\cdot2 = 3 - 4 = -1\).

Если \(y = 0,4\), то

\(x = 3 - 2\cdot0,4 = 3 - 0,8 =2,2\).

\((-1;2)\), \((2,2; 0,4)\) - точки пересечения графиков.

1) \( (x-1)^2+(y-2)^2 = 4\) - окружность с центром в точке \((1; 2)\) и радиусом \(r = 2\).

2) \(x + 2y = 3\)

\(2y = 3 - x\)  \(/ : 2\)

\(y = 1,5 - 0,5x\) - прямая.

Пояснения:

Правила и приёмы, которые используются:

1) Чтобы выяснить, пересекаются ли графики двух уравнений, достаточно решить систему этих уравнений: решения системы и есть точки пересечения.

2) При решении систем используем метод подстановки: из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют в другое уравнение. Тогда система сводится к одному уравнению с одной  переменной. После нахождения первой переменной вторую находят подстановкой обратно в выражение.

3) Для решения квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\)

используют дискриминант:

\(D=b^2-4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.\)

4) Для окружностей удобно подставлять или вычитать уравнения, чтобы убрать \(y^2\) или \(x^2+y^2\) и получить линейное уравнение.

Иллюстрация графиками:

В каждом пункте графики пересекаются ровно в найденных точках: в пунктах а), б), г) — в двух точках, а в пункте в) — в одной точке (касание).

а)

\[ C_{10}^4=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=210 \]

б)

\[ C_{10}^5=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=252 \]

Ответ:

а) \(210\);

б) \(252\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Формула сочетаний:

\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

2. При выборе группы порядок не важен, поэтому используются сочетания.

Пояснение к пункту а).

Заведующий обязательно едет, значит он уже выбран.

Остаётся выбрать ещё 4 человека из 10 сотрудников:

\[ C_{10}^4 \]

Вычисляем:

\[ \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=210 \]

Пояснение к пункту б).

Заведующий остаётся, значит выбираем всех 5 человек только из 10 сотрудников:

\[ C_{10}^5 \]

Вычисляем:

\[ \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{120}=252 \]

Таким образом:

в пункте а) фиксирован один человек и выбираем остальных,

в пункте б) выбираем всех из сотрудников.