Упражнение 776 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть исходная дробь равна \(\dfrac{x}{y}\). Тогда новые дроби: \(\dfrac{x-1}{y-1}\) и \(\dfrac{x+1}{y+1}\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} \dfrac{x-1}{y-1} - \dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{6}, /\times6y(y-1)\\[6pt] \dfrac{x}{y} - \dfrac{x+1}{y+1} = \dfrac{1}{10} /\times10y(y+1) \end{cases}\)

ОДЗ: \(y\ne0\), \(y \ne1\), \(y\ne-1\).

\(\begin{cases} 6y(x-1)-6x(y-1) = y(y-1) \\[2pt] 10x(y+1) - 10y(x+1) = y(y+1) \end{cases}\)

\(\begin{cases} \cancel{6xy}-6y-\cancel{6xy}+6x = y^2-y \\[2pt] \cancel{10xy}+10x - \cancel{10xy}-10y = y^2+y \end{cases}\)

\(\begin{cases} 6x-6y = y^2-y \\[2pt] 10x - 10y = y^2+y \end{cases}\)

\(\begin{cases} 6x = y^2-y + 6y \\[2pt] 10x = y^2+y +10y \end{cases}\)

\(\begin{cases} 6x = y^2+5y / : 6\\[2pt] 10x = y^2+11y / : 10\end{cases}\)

\(\begin{cases} x = \dfrac{y^2+5y}{6} \\[2pt] x = \dfrac{y^2+11y}{10} \end{cases}\)

\(\dfrac{y^2+5y}{6}=\dfrac{y^2+11y}{10}\)

\(10(y^2+5y)=6(y^2+11y)\)

\(10y^2+50y=6y^2+66y\)

\(10y^2+50y-6y^2-66y = 0\)

\(4y^2-16y=0\)

\(4y(y-4)=0\)

\(y=0\)  или  \(y - 4 = 0\)

                    \(y = 4\)

\(y = 0\) - не удовлетворяет ОДЗ.

Если \(y = 4\), то

\(x = \dfrac{4^2+5\cdot4}{6} =\dfrac{16+20}{6} =\dfrac{36}{6} =6\)

Искомая дробь: \(\dfrac{6}{4}\).

Ответ: \(\dfrac{6}{4}\).

Пояснения:

1. Обозначение дроби.

Пусть исходная дробь равна \(\dfrac{x}{y}\), где \(y\neq 0\).

2. Составление первого уравнения.

Если от числителя и знаменателя отнять по 1, получим \(\dfrac{x-1}{y-1}\). По условию она больше исходной на \(\dfrac{1}{6}\):

\[\frac{x-1}{y-1}-\frac{x}{y}=\frac{1}{6}.\]

Приведение к общему знаменателю приводит к уравнению:

\[6x=y^2+5y.\]

3. Составление второго уравнения.

Если прибавить по 1, получим \(\dfrac{x+1}{y+1}\), которая меньше исходной на \(\dfrac{1}{10}\):

\[\frac{x}{y}-\frac{x+1}{y+1}=\frac{1}{10}.\]

После преобразований получаем:

\[10x=y^2+11y.\]

4. Решение системы.

Решаем систему способом подстановки. Приравниваем два выражения для \(x\) и решаем уравнение относительно \(y\). Получаем \(y=4\). Затем находим \(x=6\).

Исходная дробь равна \(\frac{6}{4}.\)

а)

\[ 5! = 120 \]

б)

\[ 4! = 24 \]

Ответ:

а) \(120\);

б) \(24\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Перестановки:

\[ n! = n \cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 1 \]

2. Если некоторые позиции фиксированы, то переставляются только оставшиеся элементы.

Рассуждение:

Слово «высота» содержит 6 различных букв: \(в, ы, с, о, т, а\).

Пояснение к пункту а).

Первая буква фиксирована — «в».

Остаётся переставить 5 оставшихся букв:

\[ 5! = 120 \]

Пояснение к пункту б).

Первая буква фиксирована — «а», последняя — «т».

Остаётся 4 буквы (\(в, ы, с, о\)), которые можно переставить:

\[ 4! = 24 \]

Таким образом, фиксирование позиций уменьшает количество перестановок.