Упражнение 768 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть масса первого раствора равна \(x\) кг (\(x > 0\)), второго — \(y\) кг (\(y > 0\)). Масса соли в первом растворе \(0,4x\) кг, а во втором - \(0,48y\) кг. Концентрация нового раствора \(42\) %, тогда:

\(\frac{0{,}4x+0{,}48y}{x+y}=0{,}42\) \(/\times (x+y)\)

\[0{,}4x+0{,}48y=0{,}42(x+y)\]

\[0{,}4x+0{,}48y=0{,}42x+0{,}42y\]

\[0{,}4x-0{,}42x+0{,}48y-0{,}42y=0\]

\[-0{,}02x+0{,}06y=0\]

\(-0{,}02x = -0{,}06y\)   \(/ : (-y)\)

\(0{,}02\frac xy = 0{,}06\)   \(/ : 0,02\)

\(\frac xy=\frac{0{,}02}{0{,}06}\)

\(\frac xy=\frac{2}{6}\)

\(\frac xy=\frac{3}{1}\)

Ответ: первый и второй растворы были взять в отношении \(3 : 1\).

Пояснения:

Количество соли в смеси равно сумме количеств соли в каждом растворе.

В первом растворе соли \(0{,}4x\), во втором — \(0{,}48y\).

По условию концентрация полученного раствора \(42\%\), значит:

\(\frac{0{,}4x+0{,}48y}{x+y}=0{,}42\),

откуда

\[0{,}4x+0{,}48y=0{,}42(x+y).\]

После раскрытия скобок и переноса получаем:

\[-0{,}02x+0{,}06y=0.\]

Отсюда:

\(\frac xy=\frac{3}{1}\)

Значит, первый и второй растворы взяты в отношении \(3:1\).

\[ \frac{7 \cdot 6}{2}=21 \]

Ответ: \(21\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Число сочетаний:

\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

2. Для выбора 2 человек из 7:

\[ C_7^2=\frac{7!}{2!\cdot 5!} \]

Рассуждение:

Нужно выбрать 2 человек из 7, при этом порядок не важен (важно только, кто выбран, а не кто «первый» или «второй»).

По формуле:

\[ C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2\cdot 1} \]

\[ =\frac{42}{2}=21 \]

Можно рассуждать и так:

Сначала выберем первого — 7 способов, затем второго — 6 способов:

\[ 7 \cdot 6=42 \]

Но при этом каждая пара посчитана дважды (например, \(A,B\) и \(B,A\)), поэтому делим на 2:

\[ \frac{42}{2}=21 \]

Итак, существует 21 способ выбрать двух человек.