Упражнение 773 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} 3x-y=5,\\ x-3y=7,\\ 2x+5y=c \end{cases}\)

1) \(\begin{cases} 3x-y=5,\\ x-3y=7 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3(3y+7)-y=5,\\ x=3y+7 \end{cases}\)

\(3(3y+7)-y=5\)

\(9y + 21 - y = 5\)

\(8y + 21 = 5\)

\(8y = 5 - 21\)

\(8y = -16\)

\(y = \frac{-16}{2}\)

\(y = -2\)

\(x = 3\cdot(-2) + 7 = -6 + 7 = 1\)

2) \(2x+5y=c\)

\(2\cdot1+5\cdot(-2)=c\)

\(2-10=c\)

\(c=-8\)

Ответ: при \(c=-8\).

Пояснения:

1. Идея решения.

Система состоит из трёх уравнений с двумя неизвестными. Чтобы система имела решение, третье уравнение должно выполняться для тех же \(x\) и \(y\), которые получаются из первых двух уравнений.

2. Решение первых двух уравнений.

Систему из двух уравнений решили методом подстановки. Из второго уравнения выразили переменную \(x\) и подставили выражение в первое уравнение. Получили линейное уравнение с одной переменной и нашли: \(y=-2\). Затем, возвращаясь в подстановку, нашли: \(x = 1\).

3. Подстановка в третье уравнение.

Чтобы вся система имела решение, найденные значения должны удовлетворять третьему уравнению. Подставляя найденные значения \(x\) и \(y\), в третье уравнение нашли: \(c = - 8\).

Следовательно, исходная система имеет решение только при \(c=-8.\)

а)

\[ C_{11}^2=\frac{11\cdot 10}{2}=55 \]

б)

\[ C_{11}^3=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{6}=165 \]

Ответ:

а) \(55\);

б) \(165\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Формула сочетаний:

\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

2. При выборе книг порядок не важен, поэтому используются сочетания.

Пояснение к пункту а).

Словарь обязательно входит в выбор, значит он уже выбран.

Остаётся выбрать ещё 2 книги из 11 художественных:

\[ C_{11}^2 \]

Вычисляем:

\[ \frac{11\cdot 10}{2}=55 \]

Пояснение к пункту б).

Словарь не нужен, значит выбираем все 3 книги только из 11 художественных:

\[ C_{11}^3 \]

Вычисляем:

\[ \frac{11\cdot 10\cdot 9}{6}=165 \]

Таким образом, в первом случае один элемент фиксирован, а во втором — выбор полностью из художественных книг.