Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№767 учебника 2023-2026 (стр. 199):
Имеются два сплава серебра с медью. Первый содержит \(67\%\) меди, а второй — \(87\%\) меди. В каком соотношении нужно взять эти два сплава, чтобы получить сплав, содержащий \(79\%\) меди?
№767 учебника 2014-2022 (стр. 194):
Найдите значение выражения:
а) \(\dfrac{8!}{6!\cdot 2!}\);
б) \(\dfrac{12!}{9!\cdot 3!}\);
в) \(\dfrac{7!\cdot 5!}{8!\cdot 4!}\).
№767 учебника 2023-2026 (стр. 199):
Вспомните:
№767 учебника 2014-2022 (стр. 194):
Введите текст
№767 учебника 2023-2026 (стр. 199):
Пусть первого сплава взяли \(x\) кг (\(x > 0\)), второго — \(y\) кг (\(y > 0\)). Тогда масса меди в первом сплаве \(0,67x\) кг, а во втором - \(0,87y\) кг. Масса меди в новом сплаве равна \(0,67x + 0,87y\) кг, а масса всего сплава \(x + y\) кг. Тогда:
\(\frac{0{,}67x+0{,}87y}{x+y}=0{,}79\) \(/\times (x+y)\)
\[0{,}67x+0{,}87y=0{,}79(x+y)\]
\[0{,}67x+0{,}87y=0{,}79x+0{,}79y\]
\[0{,}67x-0{,}79x+0{,}87y-0{,}79y=0\]
\[-0{,}12x+0{,}08y=0\]
\(-0{,}12x= - 0{,}08y\) \(/ : (-y)\)
\(0{,}12\frac xy= 0{,}08\) \(/ : 0,12\)
\(\frac xy=\frac{0{,}12}{0{,}08}\)
\(\frac xy=\frac{12}{8}\)
\(\frac xy=\frac{3}{2}\)
Ответ: сплавы нужно взять в отношении \(3 : 2\).
Пояснения:
Если смешивают два сплава, то количество меди в смеси равно сумме количеств меди в каждом из сплавов.
Количество меди в первом сплаве равно \(0{,}67x\), во втором — \(0{,}87y\).
По условию итоговая концентрация меди должна быть \(79\%\), то есть:
\(\frac{0{,}67x+0{,}87y}{x+y}=0{,}79,\)
откуда
\[0{,}67x+0{,}87y=0{,}79(x+y).\]
Раскрываем скобки и переносим всё в одну сторону:
\[-0{,}12x+0{,}08y=0.\]
Отсюда получаем:
\(\frac xy=\frac{3}{2}\).
Значит, сплавы нужно взять в отношении \(3 : 2\), то есть на три части первого 67% сплава нужно взять две части второго 87% сплава.
№767 учебника 2014-2022 (стр. 194):
а)
\[ \frac{8!}{6!\cdot 2!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6!}{6!\cdot 2\cdot 1} \]
\[ =\frac{8\cdot 7}{2}=28 \]
б)
\[ \frac{12!}{9!\cdot 3!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9!}{9!\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \]
\[ =\frac{12\cdot 11\cdot 10}{6}=220 \]
в)
\[ \frac{7!\cdot 5!}{8!\cdot 4!}=\frac{7!\cdot 5\cdot 4!}{8\cdot 7!\cdot 4!} \]
\[ =\frac{5}{8} \]
Ответ:
а) \(28\);
б) \(220\);
в) \(\dfrac{5}{8}\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Определение факториала:
\[ n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 1 \]
2. Сокращение факториалов:
Если в числителе и знаменателе есть одинаковые множители, их можно сократить.
Пояснение к пункту а).
Расписываем:
\[ 8!=8\cdot 7\cdot 6! \]
Тогда:
\[ \frac{8!}{6!\cdot 2!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6!}{6!\cdot 2\cdot 1} \]
Сокращаем \(6!\):
\[ \frac{8\cdot 7}{2}=28 \]
Пояснение к пункту б).
Расписываем:
\[ 12!=12\cdot 11\cdot 10\cdot 9! \]
\[ 3!=3\cdot 2\cdot 1=6 \]
Сокращаем \(9!\):
\[ \frac{12\cdot 11\cdot 10}{6} \]
Сначала делим:
\[ \frac{12}{6}=2 \]
\[ 2\cdot 11\cdot 10=220 \]
Пояснение к пункту в).
Используем:
\[ 8!=8\cdot 7! \]
\[ 5!=5\cdot 4! \]
Подставляем:
\[ \frac{7!\cdot 5\cdot 4!}{8\cdot 7!\cdot 4!} \]
Сокращаем \(7!\) и \(4!\):
\[ \frac{5}{8} \]
Таким образом, выражения упрощаются за счёт сокращения одинаковых факториалов.
Вернуться к содержанию учебника