Упражнение 775 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} x+3y=2,\\ xy=a \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=2-3y,\\ (2-3y)y=a \end{cases}\)

\((2-3y)y=a\)

\(2y-3y^2=a\)

\(3y^2-2y+a=0\)

\(D=(-2)^2-4\cdot3\cdot a=4-12a\)

Уравнение имеет ндинственное решение при \(D=0\):

\(4-12a=0\)

\(12a=4\)

\(a = \frac{4}{12}\)

\(a=\dfrac{1}{3}\)

Ответ: при \(a=\dfrac{1}{3}\).

Пояснения:

1. Метод решения.

Используем способ подстановки: из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем во второе уравнение.

2. Получение квадратного уравнения.

После подстановки \(x=2-3y\) в условие \(xy=a\) получаем квадратное уравнение:

\[3y^2-2y+a=0.\]

3. Условие единственного решения.

Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда квадратное уравнение имеет один корень. Это происходит при нулевом дискриминанте:

\[D=b^2-4ac.\]

В нашем случае:

\[D=4-12a.\]

Приравниваем к нулю и находим \(a\).

4. Вывод.

Система имеет единственное решение только при

\[a=\dfrac{1}{3}.\]

\[ C_{10}^3 \cdot C_{4}^2 \]

\[ C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120 \]

\[ C_{4}^2=\frac{4\cdot 3}{2}=6 \]

\[ 120 \cdot 6 = 720 \]

Ответ: \(720\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Формула сочетаний:

\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

2. Правило произведения:

Если нужно выполнить два независимых выбора, общее число способов равно произведению.

Рассуждение:

Нужно выбрать:

— 3 книги из 10;

— 2 журнала из 4.

Порядок не важен, поэтому используем сочетания.

Число способов выбрать книги:

\[ C_{10}^3 \]

Число способов выбрать журналы:

\[ C_{4}^2 \]

Общее число способов:

\[ C_{10}^3 \cdot C_{4}^2 \]

Вычисляем:

\[ C_{10}^3=120,\quad C_{4}^2=6 \]

\[ 120 \cdot 6 = 720 \]

Таким образом, существует 720 способов сделать выбор.