Упражнение 769 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№769 учебника 2023-2026 (стр. 199):
Решите графически систему уравнений:
а) \(\begin{cases} y+x^2=5x, \\ 2y+5=x; \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} x^2+y^2=25, \\ 2x^2+y=6; \end{cases}\)
в) \(\begin{cases} xy=1, \\ x^2+y^2=9; \end{cases}\)
г) \(\begin{cases} xy=-2, \\ y+8=\dfrac12 x^2. \end{cases}\)
№769 учебника 2014-2022 (стр. 196):
В магазине «Филателия» продаётся 8 различных наборов марок, посвящённых спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Подсказка
№769 учебника 2023-2026 (стр. 199):
Вспомните:
- Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными.
- Уравнения с двумя переменными.
- Уравнение окружности.
- Квадратичная функция, ее график.
- Функция обратной пропорциональности, ее график.
- Линейная функция, ее график.
- Координаты точки на координатной плоскости.
- Противоположные выражения.
- Квадрат разности двух выражений.
№769 учебника 2014-2022 (стр. 196):
Введите текст
Ответ
№769 учебника 2023-2026 (стр. 199):
а) \(\begin{cases} y+x^2=5x, \\ 2y+5=x \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=-x^2+5x, \\ 2y=x-5 / : 2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=-x^2+5x, \\ y=0,5x-2,5 \end{cases}\)
\(y=-x^2+5x\)
\(y=-(x^2 - 5x) \)
\(y=-((x^2 - 5x + 2,5^2) - 2,5^2)\)
\(y = -((x - 2,5)^2 - 6,25)\)
\(y = -(x - 2,5)^2 + 6,25\) - парабола, полученная из параболы \(y = -x^2\) с вершиной в точке \((2,5; 6,25)\), ветви вниз.
| \(x\) | -0,5 | 0,5 | 1,5 | 2,5 | 3,5 | 4,5 | 5,5 |
| \(y\) | -3,75 | 2,25 | 5,25 | 6,25 | 5,25 | 2,25 | -3,75 |
\(y=0,5x-2,5\) - прямая.
| \(x\) | 1 | 3 |
| \(y\) | -2 | -1 |
Ответ: \((5;0)\) и \((-0,5;-3,75)\).
б) \(\begin{cases} x^2+y^2=25, \\ 2x^2+y=6 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2+y^2=25, \\ y=-2x^2+6 \end{cases}\)
\(x^2+y^2=25\) - окружность с центром в точке \((0;0 )\) и радиусом \(r = 5\).
\(y=-2x^2+6\) - парабола, ветви вниз, вершина в точке \((0; 6)\)
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| \(y\) | -2 | 4 | 6 | 4 | -2 |
Ответ: \((-2,3; -4,5)\), \((-0,7; 4,9)\),
\((0,7; 4,9)\), \((2,3; -4,5)\).
в) \(\begin{cases} xy=1, \\ x^2+y^2=9 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=\dfrac1x, \\ x^2+y^2=9 \end{cases}\)
\(y = \dfrac1x\) - гипербола, I и III четверть.
| \(x\) | -2 | -1 | -0,5 |
| \(y\) | -0,5 | -1 | -2 |
| \(x\) | 2 | 1 | 0,5 |
| \(y\) | 0,5 | 1 | 2 |
\(x^2+y^2=9 \) - окружность с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом \(r = 3\).
Ответ: \((-2,9; -0,3)\), \((-0,3; -2,9)\),
\((0,3; 2,9)\), \((2,9; 0,3)\).
г) \(\begin{cases} xy=-2, \\ y+8=\dfrac12 x^2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=-\dfrac2x, \\ y=\dfrac12 x^2 - 8 \end{cases}\)
\(y=-\dfrac2x\) - гипербола, II и IV четверть.
| \(x\) | -4 | -2 | -1 | -0,5 |
| \(y\) | 0,5 | 1 | 2 | 4 |
| \(x\) | 4 | 2 | 1 | 0,5 |
| \(y\) | -0,5 | -1 | -2 | -4 |
\(y=\dfrac12 x^2 - 8\) -парабола, ветви вверх, вершина в точке \((0; -8)\)
| \(x\) | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
| \(y\) | 0 | -6 | -8 | -6 | 0 |
Ответ: \((-4,1;0,5)\), \((0,3;-7,9)\),
\((3,8;-0,5)\).
Пояснения:
Суть графического метода решения системы уравнений с двумя переменными:
1) построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
2) найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
3) полученные пары чисел и будут искомыми решениями.
№769 учебника 2014-2022 (стр. 196):
\[ C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=56 \]
Ответ: \(56\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Число сочетаний:
\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]
В данной задаче:
\[ n=8,\quad k=3 \]
Так как важно только, какие наборы выбраны, а не порядок выбора, используется сочетание.
Подставляем в формулу:
\[ C_8^3=\frac{8!}{3!\cdot 5!} \]
Сокращаем факториалы:
\[ C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1} \]
Вычисляем:
\[ 8\cdot 7\cdot 6=336 \]
\[ 3\cdot 2\cdot 1=6 \]
\[ \frac{336}{6}=56 \]
Альтернативное объяснение:
Можно выбрать 3 набора из 8 без учёта порядка — это классическая задача на сочетания.
Таким образом, существует 56 способов выбрать 3 набора марок.
Вернуться к содержанию учебника