Упражнение 449 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y \ge x\);

\(y = x\)

б) \(y \le x - 1\);

\(y = x - 1\)

в) \(y > \frac14 x - 1\);

\(y = \frac14 x - 1\)

г) \(y < \frac13 x - 3\).

\(y = \frac13 x - 3\).

Пояснения:

Общие правила:

1) Неравенства вида \(y \ge kx + b\) или \(y \le kx + b\) задают полуплоскости, ограниченные прямой \(y = kx + b\).

2) Если знак строгий (\(<\) или \(>\)), прямая не принадлежит множеству решений.

3) Если знак нестрогий (\(\le\) или \(\ge\)), прямая входит в множество решений.

4) Чтобы определить, какую сторону от прямой заштриховывать, можно подставить любую точку, не лежащую на прямой, например \((0;0)\), если она не лежит на границе.

В учебнике требуется построение графиков, поэтому на координатной плоскости нужно провести каждую прямую и отметить соответствующую полуплоскость.

а) \(x^2 + y^2 = 36\) и \(y = x^2 + 6\).

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 36,\\ y = x^2 + 6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + (x^2 + 6)^2 = 36,\\ y = x^2 + 6 \end{cases}\)

\(x^2 + (x^2 + 6)^2 = 36\)

\(x^2 + x^4 + 12x^2 + 36 - 36 = 0\)

\(x^4 + 13x^2 = 0\)

\(x^2(x^2 + 13) = 0\)

\(x^2 + 13 > 0\) - при любом \(x\).

\(x^2 = 0\)

\(x = 0\)

\(y = 0^2 + 6 = 6\)

Ответ: точка пересечения \((0, 6)\).

б) \(x^2 + y^2 = 16\) и \((x - 2)^2 + y^2 = 36\)

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 16,\\ (x - 2)^2 + y^2 = 36 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y^2 = 16 - x^2,\\ (x - 2)^2 + (16 - x^2) = 36 \end{cases}\)

\((x - 2)^2 + (16 - x^2) = 36 \)

\(\cancel{x^2} - 4x + 4 + 16 - \cancel{x^2} = 36\)

\(-4x + 20 = 36\)

\(-4x = 36-20\)

\(-4x = 16\)

\(x = \frac{16}{-4}\)

\(x = -4\)

\((-4)^2 + y^2 = 16\)

\(16 + y^2 = 16\)

\(y^2 = 16 - 16\)

\(y^2 = 0\)

\(y = 0\)

Ответ: точка пересечения \((-4, 0)\).

в) \(x^2 + y^2 = 25\) и \(4x - y = 0\)

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 25,\\ 4x - y = 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + (4x)^2 = 25,\\ y = 4x \end{cases}\)

\(x^2 + (4x)^2 = 25\)

\(x^2 + 16x^2 = 25\)

\(17x^2 = 25\)

\(x^2 = \dfrac{25}{17}\)

\(x = \pm\sqrt{\frac{25}{17}}\)

\(x = \pm\dfrac{5}{\sqrt{17}}\)

Если \(x = \dfrac{5}{\sqrt{17}}\), то

\(y = 4\cdot\dfrac{5}{\sqrt{17}} = \dfrac{20}{\sqrt{17}}\).

Если \(x = -\dfrac{5}{\sqrt{17}}\), то

\(y = 4\cdot\left(-\dfrac{5}{\sqrt{17}}\right) = -\dfrac{20}{\sqrt{17}}\).

Ответ: точки пересечения:

\(\left(\dfrac{5}{\sqrt{17}},\dfrac{20}{\sqrt{17}}\right)\), \(\left(-\dfrac{5}{\sqrt{17}},-\dfrac{20}{\sqrt{17}}\right)\).

Пояснения:

Точки пересечения двух графиков находятся из системы, составленной из их уравнений.

При решении систем используем метод подстановки:

1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.

3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.

4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.

Пояснение к пункту а).

Подставили \(y = x^2 + 6\) в уравнение окружности. Получилось уравнение \[ x^4 + 13x^2 = 0, \] которое раскладывается на множители \(x^2(x^2+13)=0\). Учитывая то, что \(x^2 + 13 > 0\) - при любом \(x\), полученное уравнение имеет один корень \(x=0\), затем нашли \(y=6\). Точка пересечения графиков \((0; 6)\).

Пояснение к пункту б).

Из уравнения первой окружности выразили \(y^2\) и подставили в уравнение второй окружности. Получили линейное уравнение \(-4x + 20 = 36\), из которого нашли \(x = -4\), затем нашли \(y = 0\). Точка пересечения графиков \((-4; 0)\).

Пояснение к пункту в).

Из уравнения прямой \(4x-y=0\) выразили \(y=4x\) и подставили в окружность. Получили \( 17x^2=25, \) поэтому \(x=\pm \dfrac{5}{\sqrt{17}}\). Затем нашли соответствующие значения \(y\). Точки пересечения графиков \(\left(\dfrac{5}{\sqrt{17}},\dfrac{20}{\sqrt{17}}\right)\), \(\left(-\dfrac{5}{\sqrt{17}},-\dfrac{20}{\sqrt{17}}\right)\).