Упражнение 449 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 133

а)

Граница: прямая \(y = x\).

Множество решений: все точки выше или на прямой.

б)

Граница: прямая \(y = x - 1\).

Множество решений: все точки на прямой и ниже её.

в)

Граница: прямая \(y = \frac14 x - 1\).

Множество решений: все точки строго выше прямой.

г)

Граница: прямая \(y = \frac13 x - 3\).

Множество решений: все точки строго ниже прямой.

Пояснения:

Общие правила:

1) Неравенства вида \(y \ge kx + b\) или \(y \le kx + b\) задают полуплоскости, ограниченные прямой \(y = kx + b\).

2) Если знак строгий (\(<\) или \(>\)), прямая не принадлежит множеству решений.

3) Если знак нестрогий (\(\le\) или \(\ge\)), прямая входит в множество решений.

4) Чтобы определить, какую сторону от прямой заштриховывать, можно подставить любую точку, не лежащую на прямой, например \((0;0)\), если она не лежит на границе.

Пояснение к пункту а)

Граница: \(y = x\). Угловой коэффициент \(1\). Прямая проходит через точки \((0;0)\), \((1;1)\), \((2;2)\).

Требуется \(y \ge x\). Точка \((0;1)\) удовлетворяет: \(1 \ge 0\). Значит, штриховка — выше прямой.

Пояснение к пункту б)

Граница: \(y = x - 1\). Прямая проходит через \((0;-1)\), \((1;0)\), \((2;1)\).

Проверка точки \((0;0)\): \(0 \le -1\) — неверно, значит заштриховываем область ниже прямой.

Пояснение к пункту в)

Граница: \(y = \frac14 x - 1\). Прямая проходит через \((0;-1)\), \((4;0)\).

Неравенство строгое, поэтому сама прямая не входит в решение.

Проверяем точку \((0;0)\): \(0 > -1\) — верно, значит область — выше прямой.

Пояснение к пункту г)

Граница: \(y = \frac13 x - 3\). Прямая проходит через \((0;-3)\), \((3;-2)\).

Проверка точки \((0;0)\): \(0 < -3\) — неверно, значит решения находятся по другую сторону — ниже прямой.

В учебнике требуется построение графиков, поэтому на координатной плоскости нужно провести каждую прямую и отметить соответствующую полуплоскость.