Упражнение 448 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y > 2x - 3\);

Пара \((0; 0)\):

\[0 > 2\cdot0 - 3,\quad 0 > -3.\]

Пара \((1; 0)\):

\[0 > 2\cdot1 - 3,\quad 0 > -1.\]

б) \(y < 3x - 5\);

Пара \((0; -6)\):

\[-6 < 3\cdot0 - 5,\quad -6 < -5.\]

Пара \((2; 0)\):

\[0 < 3\cdot2 - 5,\quad 0 < 1.\]

в) \(y \le x^2 - 1\);

Пара \((0; -1)\):

\[-1 \le 0^2 - 1,\quad -1 \le -1.\]

Пара \((2; 0)\):

\[0 \le 2^2 - 1,\quad 0 \le 3.\]

г) \(x^2 + y^2 \le 9\).

Пара \((0; 0)\):

\[0^2 + 0^2 \le 9,\quad 0 \le 9.\]

Пара \((3; 0)\):

\[3^2 + 0^2 \le 9,\quad 9 \le 9.\]

Пояснения:

1. Пара чисел \((x_0; y_0)\) является решением неравенства с переменными \(x\) и \(y\), если при подстановке \(x = x_0\) и \(y = y_0\) в левую и правую части неравенства получается верное числовое неравенство.

2. Для линейных неравенств вида \(y > kx + b\) или \(y < kx + b\) множество решений задаётся полуплоскостью. Достаточно подобрать любое значение \(x\), затем вычислить правую часть и взять \(y\) так, чтобы неравенство выполнялось.

3. Для неравенства вида \(y \le x^2 - 1\) множество решений — точки на графике параболы \(y = x^2 - 1\) и ниже её. Поэтому можно брать любые удобные значения \(x\), находить \(x^2 - 1\) и выбирать \(y\), не превышающее это число.

4. Неравенство \(x^2 + y^2 \le 9\) описывает круг радиуса \(3\) с центром в начале координат: все точки внутри круга и на окружности.

Пояснение к пункту а)

Неравенство \(y > 2x - 3\). Берём, например, \(x = 0\). Тогда правая часть:

\[2\cdot0 - 3 = -3.\]

Чтобы неравенство выполнялось, нужно \(y > -3\). Берём \(y = 0\). Получаем пару \((0; 0)\), проверка: \[ 0 > -3 \] верно. Аналогично, при \(x = 1\): \[ 2\cdot1 - 3 = -1, \] берём \(y = 0\), имеем \[ 0 > -1, \] тоже верно.

Пояснение к пункту б)

Неравенство \(y < 3x - 5\). При \(x = 0\): \[ 3\cdot0 - 5 = -5. \] Требуется \(y < -5\), выбираем \(y = -6\). Тогда \[ -6 < -5 \] верно. При \(x = 2\): \[ 3\cdot2 - 5 = 1. \] Нужно \(y < 1\), можно взять \(y = 0\), получаем \[ 0 < 1, \] неравенство выполняется.

Пояснение к пункту в)

Неравенство \(y \le x^2 - 1\). При \(x = 0\): \[ x^2 - 1 = 0^2 - 1 = -1. \] Можно взять \(y = -1\), тогда \[ -1 \le -1 \] верно. При \(x = 2\): \[ x^2 - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3. \] Берём \(y = 0\). Проверяем: \[ 0 \le 3, \] неравенство выполняется.

Пояснение к пункту г)

Неравенство \(x^2 + y^2 \le 9\). Это расстояние от точки \((x; y)\) до начала координат в квадрате не больше \(9\), то есть сама длина не больше \(3\). Точка \((0; 0)\) находится в центре: \[ 0^2 + 0^2 = 0 \le 9. \] Точка \((3; 0)\) лежит на окружности радиуса \(3\): \[ 3^2 + 0^2 = 9 \le 9. \] Значит, обе пары являются решениями.

а) \(\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14,\\ x^2 + 2y^2 = 18 \end{cases}\)   \((+)\)

\((x^2 + x^2) + (- 2y^2 + 2y^2) = 14 + 18\)

\(2x^2 = 32\)

\(x^2 = \frac{32}{2}\)

\(x^2 = 16\)

\(x = \pm\sqrt{16}\)

\(x = \pm4\)

1) Если \(x = 4\), то

\(4^2 + 2y^2 = 18\)

\(16 + 2y^2 = 18\)

\(2y^2 = 18 - 16\)

\(2y^2 = 2\)

\(y^2 = \frac{2}{2}\)

\(y^2 = 1\)

\(y = \pm\sqrt1\)

\(y = \pm1\)

2) Если \(x = -4\), то

\((-4)^2 + 2y^2 = 18\)

\(16 + 2y^2 = 18\)

\(y = \pm1\)

Ответ: \((4;1), (4;-1), (-4;1), (-4;-1)\).

б) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 61,\\ x^2 - y^2 = 11; \end{cases}\)   \((+)\)

\((x^2 + x^2) + (y^2 - y^2) = 61 + 11\)

\(2x^2 = 72\)

\(x^2 = \frac{72}{2}\)

\(x^2 = 36\)

\(x = \pm\sqrt{36}\)

\(x = \pm6\)

\(x^2 - y^2 = 11\)

\(36 - y^2 = 11\)

\(-y^2 = -25\)

\(y^2 = 25\)

\(y = \pm\sqrt{25}\)

\(y = \pm5\)

Ответ: \((6;5), (6;-5), (-6;5), (-6;-5)\).

в) \(\begin{cases} xy + x = 56,\\ xy + y = 54  /\times(-1) \end{cases}\)

\(\begin{cases} xy + x = 56,\\ -xy - y = -54 \end{cases}\)   \((+)\)

1) \((xy - xy) + (x - y) = 56 - 54\)

\(x - y = 2\)

\(x = y + 2\)

2) \(xy + y = 54\)

\((y + 2)y + y = 54\)

\(y^2 + 2y + y - 54 = 0\)

\(y^2 + 3y - 54 = 0\)

\(D = 3^2 - 4\cdot1\cdot(-54) = \)

\(=9 + 216 = 225 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{225} = 15\).

\(y_1 = \frac{-3 + 15}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).

\(y_2 = \frac{-3 - 15}{2\cdot1} = \frac{-18}{2} = -9\).

3) Если \(y = -9\), то

\(x = -9 + 2 = -7\).

Если \(y = 6\), то

\(x = 6 + 2 = 8\).

Ответ: \((-7; -9)\), \((8; 6)\).

Пояснения:

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения:

1) подобрав "выгодные" множители (если это необходимо), преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;

5) вычислить значение другой переменной.

Пояснение к пункту а).

В уравнениях стоят \(x^2\) и \(\pm 2y^2\). При сложении системы слагаемые \(-2y^2\) и \(+2y^2\) уничтожаются, остаётся \(2x^2\). Откуда получаем два значения переменной \(x\) и для каждого значения переменной \(x\) получаем по два значения переменной \(y\), то есть всего система имеет 4 решения.

Пояснение к пункту б).

Здесь при сложении \(+y^2\) и \(-y^2\) сокращаются, и сразу находится \(x^2\). Затем из второго уравнения находим \(y^2\). Откуда получаем два значения переменной \(x\) и для каждого значения переменной \(x\) получаем по два значения переменной \(y\), то есть всего система имеет 4 решения.

Пояснение к пункту в).

Если второе уравнение системы умножить на \((-1)\), то при сложении уравнений системы выражение \(xy\) исчезает, и получаем простое линейное соотношение \(x-y=2\). Далее подставляем \(x=y+2\) в одно из уравнений системы, получаем квадратное уравнение для \(y\), а затем находим \(x\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).