Упражнение 447 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\((-2; 3)\)

а) \(2x - 3y + 16>0\)

\(2\cdot(-2) - 3\cdot3 + 16 = -4 - 9 + 16 =\)

\(=-13 + 16 = 3\), \(3>0\) - верно.

Ответ: является.

б) \(x^2 + 3xy - y^2<20\)

\( (-2)^2 + 3\cdot(-2)\cdot3 - 3^2 =\)

\(=4 - 18 - 9 = 4 - 27 = -23\)

\(-23<20.\)

Ответ: является.

в) \((x + 3)^2 + (y - 4)^2<2\)

\((-2 + 3)^2 + (3 - 4)^2 = 1^2 + (-1)^2 =\)

\(=1 + 1 = 2\), \(2<2\) - неверно.

Ответ: не является.

г) \((x + y)(y - 8) <1\)

\( (-2 + 3)(3 - 8) = 1\cdot(-5) = -5\), \(-5<1\) - верно.

Ответ: является.

д) \(x^2 + y^2 - x - y \geq 0\)

\((-2)^2 + 3^2 - (-2) - 3 =\)

\(=4 + 9 + 2 - 3 = \)

\(=13 - 1 = 12\), \(12\geq 0\) - верно.

Ответ: является.

е) \(3x^2 - 5y^2 + x - y <11\)

\(3\cdot(-2)^2 - 5\cdot3^2 + (-2) - 3 =\)

\(=3\cdot4 - 5\cdot9 - 2 - 3 = \)

\(=12 - 45 - 5 = -33 - 5 = -38\), \(-38<11.\)

Ответ: является.

Пояснения:

Основные правила, которые используются при решении:

Чтобы проверить, является ли пара чисел \((x_0; y_0)\) решением неравенства, нужно подставить \(x = x_0\) и \(y = y_0\) в левую часть неравенства и вычислить значение выражения. После подстановки выполняем арифметические действия: сначала умножения и возведение в степень, затем сложение и вычитание, в конце сравниваем полученное число с правой частью неравенства.

Рассмотрим каждое неравенство.

а) Подставляем \(x = -2\), \(y = 3\) в выражение \(2x - 3y + 16\):

\[2\cdot(-2) - 3\cdot3 + 16 = -4 - 9 + 16 = -13 + 16 = 3.\]

Сравниваем: \(3 > 0\). Неравенство выполняется, значит пара \((-2; 3)\) является решением пункта а).

б) Подставляем в \(x^2 + 3xy - y^2\):

\[(-2)^2 + 3\cdot(-2)\cdot3 - 3^2 = 4 - 18 - 9 = 4 - 27 = -23.\]

Получили число \(-23\). Сравниваем с 20: \[ -23 < 20. \] Неравенство выполняется, пара \((-2; 3)\) — решение пункта б).

в) Подставляем в \((x + 3)^2 + (y - 4)^2\):

\[(-2 + 3)^2 + (3 - 4)^2 = 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2.\]

Сравниваем с 2: \(2 < 2 \) не выполняется, так как левая и правая части равны. Значит, неравенство не выполняется, и пара \((-2; 3)\) не является решением пункта в).

г) Подставляем в \((x + y)(y - 8)\):

\[(-2 + 3)(3 - 8) = 1\cdot(-5) = -5.\]

Сравниваем с 1: \[ -5 < 1. \] Неравенство выполняется, пара \((-2; 3)\) является решением пункта г).

д) Подставляем в \(x^2 + y^2 - x - y\):

\[(-2)^2 + 3^2 - (-2) - 3 = 4 + 9 + 2 - 3 = 13 - 1 = 12.\]

Сравниваем: \( 12 \ge 0. \) Неравенство выполняется, пара \((-2; 3)\) является решением пункта д).

е) Подставляем в \(3x^2 - 5y^2 + x - y\):

\[3\cdot(-2)^2 - 5\cdot3^2 + (-2) - 3 = 3\cdot4 - 5\cdot9 - 2 - 3 = 12 - 45 - 5 = -38.\]

Сравниваем: \[ -38 < 11. \] Неравенство выполняется, следовательно, пара \((-2; 3)\) является решением пункта е).

Итог: пара чисел \((-2; 3)\) является решением неравенств а), б), г), д), е) и не является решением неравенства в).

а) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 12,\\ xy = -6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 12,\\ y = -\frac{6}{x} \end{cases}\)

\( x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 12 \)

\( x^2 + \frac{36}{x^2} = 12\)      \(/\times x^2\)

\( x^4 + 36 = 12x^2\)

\( x^4 - 12x^2 + 36 = 0\)

Пусть \(x^2 = t \ge 0\).

\( t^2 - 12t + 36 = 0\)

\((t - 6)^2 = 0\)

\(t - 6 = 0\)

\(t = 6\)

\(x^2 = 6\)

\(x = \pm\sqrt6\)

1) Если \(x = \sqrt{6}\), то

\( y = -\frac{6}{\sqrt{6}} = -\frac{(\sqrt6)^2}{\sqrt{6}} = -\sqrt6\).

2) Если \(x = -\sqrt{6}\), то

\( y = -\frac{6}{-\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt6)^2}{\sqrt{6}} = \sqrt6\).

Ответ: \((\sqrt{6};\,-\sqrt{6})\), \((-\sqrt{6};\,\sqrt{6})\).

б) \(\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 34,\\ xy = 20 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34,\\ y = \frac{20}{x} \end{cases}\)

\( 2x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34 \)

\( 2x^2 - \frac{400}{x^2} = 34\)       \(/\times x^2\)

\( 2x^4 - 400 = 34x^2\)

\( 2x^4 - 34x^2 - 400 = 0\)   \( / : 2\)

\( x^4 - 17x^2 - 200 = 0\)

Пусть \(x^2 = t \ge 0\).

\(t^2 - 17t - 200 = 0\)

\( D = 17^2 - 4\cdot1\cdot(-200)=\)

\(= 289 + 800 = 1089> 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{1089} = 33\).

\(t_1 = \frac{17 + 33}{2\cdot1} = \frac{50}{2} = 25\).

\(t_2 = \frac{17 - 33}{2\cdot1} = \frac{-16}{2} = -8\) - не удовлетворяет условию.

При \(t = 25\):

\( x^2 = 25\)

\(x = \pm5\).

Если \(x = 5\), то

\( y = \frac{20}{5} = 4\).

Если \(x = -5\), то

\( y = \frac{20}{-5} = -4\).

Ответ: \((5;\,4)\), \((-5;\,-4)\).

Пояснения:

В обоих пунктах используется метод подстановки для решения систем уравнений:

1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.

3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.

4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.

Пояснение к пункту а).

После подстановки получено дробно-рациональное уравнение, домножив которое на знаменатель \(x^2\), получили уравнение четвёртой степени, которое сводится к квадрату двучлена \((x^2 - 6)^2 = 0\). Это даёт одно значение \(x^2\), из которого находятся два значения \(x\) и соответствующие значения \(y\).

Пояснение к пункту б).

Подстановка приводит к дробно-рациональному уравнению, домножив которое на знаменатель \(x^2\), получаем уравнение четвёртой степени, которое удобно рассматривать как квадратное относительно \(x^2\), то есть ввести замену \(x^2 = t \ge 0\). Отрицательное значение \(t\) отбрасывается, так как не имеет действительных решений. Из положительного \(t\) находятся два значения \(x\) и соответствующие значения \(y\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).