Упражнение 447 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 133

а)

\[2x - 3y + 16 = 2\cdot(-2) - 3\cdot3 + 16 = -4 - 9 + 16 = -13 + 16 = 3\]

б)

\[x^2 + 3xy - y^2 = (-2)^2 + 3\cdot(-2)\cdot3 - 3^2 = 4 - 18 - 9 = 4 - 27 = -23\]

в)

\[(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = (-2 + 3)^2 + (3 - 4)^2 = 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2\]

г)

\[(x + y)(y - 8) = (-2 + 3)(3 - 8) = 1\cdot(-5) = -5\]

д)

\[x^2 + y^2 - x - y = (-2)^2 + 3^2 - (-2) - 3 = 4 + 9 + 2 - 3 = 13 - 1 = 12\]

е)

\[3x^2 - 5y^2 + x - y = 3\cdot(-2)^2 - 5\cdot3^2 + (-2) - 3 = 3\cdot4 - 5\cdot9 - 2 - 3 = 12 - 45 - 5 = -33 - 5 = -38\]

Пояснения:

Основные правила, которые используются при решении:

1) Чтобы проверить, является ли пара чисел \((x_0; y_0)\) решением неравенства, нужно подставить \(x = x_0\) и \(y = y_0\) в левую часть неравенства и вычислить значение выражения.

2) Степени и произведения считаем по правилам: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\quad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,\quad a\cdot b = b\cdot a. \]

3) После подстановки выполняем арифметические действия: сначала умножения и возведение в степень, затем сложение и вычитание, в конце сравниваем полученное число с правой частью неравенства.

Рассмотрим каждое неравенство.

а)

Подставляем \(x = -2\), \(y = 3\) в выражение \(2x - 3y + 16\):

\[2\cdot(-2) - 3\cdot3 + 16 = -4 - 9 + 16 = -13 + 16 = 3.\]

Сравниваем: \(3 > 0\). Неравенство выполняется, значит пара \((-2; 3)\) является решением пункта а).

б)

Подставляем в \(x^2 + 3xy - y^2\):

\[(-2)^2 + 3\cdot(-2)\cdot3 - 3^2 = 4 - 18 - 9 = 4 - 27 = -23.\]

Получили число \(-23\). Сравниваем с 20: \[ -23 < 20. \] Неравенство выполняется, пара \((-2; 3)\) — решение пункта б).

в)

Подставляем в \((x + 3)^2 + (y - 4)^2\):

\[(-2 + 3)^2 + (3 - 4)^2 = 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2.\]

Сравниваем с 2: \[ 2 < 2 \] не выполняется, так как левая и правая части равны. Значит, неравенство не выполняется, и пара \((-2; 3)\) не является решением пункта в).

г)

Подставляем в \((x + y)(y - 8)\):

\[(-2 + 3)(3 - 8) = 1\cdot(-5) = -5.\]

Сравниваем с 1: \[ -5 < 1. \] Неравенство выполняется, пара \((-2; 3)\) является решением пункта г).

д)

Подставляем в \(x^2 + y^2 - x - y\):

\[(-2)^2 + 3^2 - (-2) - 3 = 4 + 9 + 2 - 3 = 13 - 1 = 12.\]

Сравниваем: \[ 12 \ge 0. \] Неравенство выполняется, пара \((-2; 3)\) является решением пункта д).

е)

Подставляем в \(3x^2 - 5y^2 + x - y\):

\[3\cdot(-2)^2 - 5\cdot3^2 + (-2) - 3 = 3\cdot4 - 5\cdot9 - 2 - 3 = 12 - 45 - 5 = -38.\]

Сравниваем: \[ -38 < 11. \] Неравенство выполняется, следовательно, пара \((-2; 3)\) является решением пункта е).

Итог: пара чисел \((-2; 3)\) является решением неравенств а), б), г), д), е) и не является решением неравенства в).