Упражнение 334 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x^4}{x^2 - 2} + \dfrac{1 - 4x^2}{2 - x^2} + 4 = 0\)

Пусть \(y = x^2\), \(y \ge 0\), тогда \(x^4 = y^2\):

\(\dfrac{y^2}{y - 2} + \dfrac{1 - 4y}{2 - y} + 4 = 0\)

\(\dfrac{y^2}{y - 2} - \dfrac{1 - 4y}{y - 2} + 4 = 0\)

\(\dfrac{y^2 - 1 + 4y}{y - 2} + 4 = 0\)  \(/\times y - 2\)

\(y^2 - 1 + 4y + 4(y - 2) = 0\)

\(y^2 - 1 + 4y + 4y - 8 = 0\)

\(y^2 + 8y - 9 = 0\)

\(D = 8^2 - 4\cdot1\cdot(-9)=\)

\(=65 + 36 = 100 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{100} = 10\).

\(y_{1} = \dfrac{-8 + 10}{2\cdot1} =\dfrac{2}{2} = 1\).

\(y_{2} = \dfrac{-8 - 10}{2\cdot1} =\dfrac{-18}{2} = -9 < 0\) - не удовлетворяет условию \(y \ge 0\).

\(y = x^2 \ge 0 \Rightarrow y = 1\)

Если \(y = 1\), то

\(x^2 = 1\)

\(x = \pm \sqrt1\)

\(x = \pm 1\)

Ответ: \(-1; \, 1\).

б) \(\dfrac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \dfrac{2}{x^2 - 4} + \dfrac{10}{x^4 - 3x^2 - 4} = 0\)

Пусть \(y = x^2\), \(y \ge 0\), тогда \(x^4 = y^2\):

\(\dfrac{y + 3}{y + 1} + \dfrac{2}{y - 4} + \dfrac{10}{y^2 - 3y - 4} = 0\)

\(y^2 - 3y - 4 = 0\)

\(D = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot(-4) =\)

\(=9 + 16 = 25 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{25} = 5\).

\(y_1 = \dfrac{3 + 5}{2\cdot1} =\dfrac{8}{2} = 4\).

\(y_1 = \dfrac{3 - 5}{2\cdot1} =\dfrac{-2}{2} = -1\).

\(y^2 - 3y - 4 = (y - 4)(y + 1)\)

\(\dfrac{y + 3}{y + 1} + \dfrac{2}{y - 4} + \dfrac{10}{(y - 4)(y + 1)} = 0\) \(/\times (y - 4)(y + 1)\)

ОДЗ: \(y - 4 \ne 0\)  и  \(y + 1 \ne 0\)

         \(y \ne 4\)              \(y \ne -1\)

\((y + 3)(y - 4) + 2(y + 1) + 10 = 0\)

\(y^2 - 4y + 3y - 12 + 2y + 2 + 10 = 0\)

\(y^2 + y = 0\)

\(y(y + 1) = 0\)

\(y = 0\)  или  \( y + 1 = 0\)

                    \(y = -1\) - не подходит.

Если \(y = 0\), то

\(x^2 = 0\)

\(x = 0\)

Ответ: \(x = 0\).

Пояснения:

1. В обоих пунктах используются выражения, зависящие только от \(x^2\) и \(x^4\), поэтому удобно сделать подстановку \[ y = x^2,\quad x^4 = y^2. \] Это превращает уравнение с рациональными функциями от \(x\) в уравнение с рациональными функциями от \(y\), причём степени уменьшаются.

2. В пункте а) после подстановки получаем дробно-рациональное уравнение \[ \frac{y^2}{y - 2} + \frac{1 - 4y}{2 - y} + 4 = 0. \] Замечаем, что \(2 - y = -(y - 2)\), поэтому вторую дробь можно записать с тем же знаменателем, изменив знак перед дробью на противоположный. Складываем дроби с одинаковыми знаменателями и, домножив уравнение на \(y - 2\), получаем квадратное уравнение \[ y^2 + 8y - 9 = 0, \] решаем квадратное уравнение через дискриминант, получаем 2 корня и оставляем только неотрицательный корень \(y = 1\), так как \(y = x^2 \ge 0\). Далее возвращаемся к \(x\): \(x = \pm 1\).

3. В пункте б) после подстановки уравнение принимает вид

\(\dfrac{y + 3}{y + 1} + \dfrac{2}{y - 4} + \dfrac{10}{y^2 - 3y - 4} = 0\).

Знаменатель \(y^2 - 3y - 4\) разложили на множители через корни квадратного трехчлена, которые нашли через дискриминант и получили:

\[ \frac{y + 3}{y + 1} + \frac{2}{y - 4} + \frac{10}{(y - 4)(y + 1)} = 0. \]

Далее домножили уравнение на знаменатель \((y - 4)(y + 1)\) и, выполнив преобразования, получили уравнение:

\( y^2 + y = 0\).

Вынесли общий множитель \(y\) за скобки:

\(y(y + 1) = 0\).

Откуда \(y = 0 \text{ или } y = -1. \)

С учётом того, что \(y = x^2 \ge 0\) и что \(y = -1\) даёт деление на ноль, остаётся только \(y = 0\), откуда \(x = 0\).

а) \(\dfrac{x-5}{x+6}<0\)

\((x-5)(x+6)<0\)

\((x-5)(x+6)=0\)

\(x - 5 = 0\)   или   \(x + 6 = 0\)

\(x = 5\)                   \(x = - 6\)

Ответ: \(x \in (-6; 5)\).

б) \(\dfrac{1{,}4-x}{x+3{,}8}<0\)

\((1{,}4-x)(x+3{,}8)<0\)

\((1{,}4-x)(x+3{,}8)=0\)

\(1{,}4-x = 0\)   или   \(x + 3,8 = 0\)

\(x=1{,}4\)                   \(x=-3{,}8\)

Ответ: \(x\in (-\infty; -3,8) \cup (1,4; +\infty)\).

в) \(\dfrac{2x}{x-1{,}6}>0\)

\(2x(x-1{,}6)>0\)  \(/ : 2\)

\(x(x-1{,}6)>0\) 

\(x(x-1{,}6)=0\)

\(x=0\)   или   \(x-1{,}6 = 0\)

                       \(x = 1,6\)

Ответ: \(x\in (-\infty; 0) \cup (1,6; +\infty)\).

г) \(\dfrac{5x-1{,}5}{x-4}>0\)

\((5x-1{,}5)(x-4)>0\)

\((5x-1{,}5)(x-4)=0\)

\(5x - 1,5 = 0\)   или   \( x - 4 = 0\)

\(5x = 1,5\)                   \(x = 4\)

\(x = \frac{1,5}{5}\)

\(x = 0,3\)

Ответ: \(x\in (-\infty; 0,3) \cup (4; +\infty)\).

д) \(\dfrac{5x+1}{x-2}>0\)

\((5x+1)(x-2)>0\)

\((5x+1)(x-2)=0\)

\(5x+1=0\)   или   \(x - 2 = 0\)

\(5x = - 1\)                \(x = 2\)

\(x=-\dfrac15\)

\(x=-0{,}2\)

Ответ: \(x\in (-\infty; 0,2) \cup (2; +\infty)\).

е) \(\dfrac{3x}{2x+9}<0\)

\(3x(2x+9)<0\)   \(/ : 3\)

\(x(2x+9)<0\) 

\(x(2x+9)=0\)

\(x = 0\)   или   \(2x + 9 = 0\)

                       \(2x = -9\)

                       \(x = -\frac92\)

                       \(x = -4,5\)

Ответ: \(x \in (-4,5; 0)\).

Пояснения:

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} < 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} > 0\) равносильны неравенствам \((x - a)(x-b) < 0\) и \((x - a)(x-b) > 0\) соответственно, которые решаем методом интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Также помним свойство неравенств:

если \(a < b\) и \(c\) - положительное число, то \(ac < bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.