Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение, используя подстановку \(y = x^2\):
а) \(\dfrac{x^4}{x^2 - 2} + \dfrac{1 - 4x^2}{2 - x^2} + 4 = 0;\)
б) \(\dfrac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \dfrac{2}{x^2 - 4} + \dfrac{10}{x^4 - 3x^2 - 4} = 0.\)
Вспомните:
а) \(\dfrac{x^4}{x^2 - 2} + \dfrac{1 - 4x^2}{2 - x^2} + 4 = 0\)
Пусть \(y = x^2\), \(y \ge 0\), тогда \(x^4 = y^2\):
\(\dfrac{y^2}{y - 2} + \dfrac{1 - 4y}{2 - y} + 4 = 0\)
\(\dfrac{y^2}{y - 2} - \dfrac{1 - 4y}{y - 2} + 4 = 0\)
\(\dfrac{y^2 - 1 + 4y}{y - 2} + 4 = 0\) \(/\times y - 2\)
\(y^2 - 1 + 4y + 4(y - 2) = 0\)
\(y^2 - 1 + 4y + 4y - 8 = 0\)
\(y^2 + 8y - 9 = 0\)
\(D = 8^2 - 4\cdot1\cdot(-9)=\)
\(=65 + 36 = 100 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt{100} = 10\).
\(y_{1} = \dfrac{-8 + 10}{2\cdot1} =\dfrac{2}{2} = 1\).
\(y_{2} = \dfrac{-8 - 10}{2\cdot1} =\dfrac{-18}{2} = -9 < 0\) - не удовлетворяет условию \(y \ge 0\).
\(y = x^2 \ge 0 \Rightarrow y = 1\)
Если \(y = 1\), то
\(x^2 = 1\)
\(x = \pm \sqrt1\)
\(x = \pm 1\)
Ответ: \(-1; \, 1\).
б) \(\dfrac{x^2 + 3}{x^2 + 1} + \dfrac{2}{x^2 - 4} + \dfrac{10}{x^4 - 3x^2 - 4} = 0\)
Пусть \(y = x^2\), \(y \ge 0\), тогда \(x^4 = y^2\):
\(\dfrac{y + 3}{y + 1} + \dfrac{2}{y - 4} + \dfrac{10}{y^2 - 3y - 4} = 0\)
\(y^2 - 3y - 4 = 0\)
\(D = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot(-4) =\)
\(=9 + 16 = 25 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt{25} = 5\).
\(y_1 = \dfrac{3 + 5}{2\cdot1} =\dfrac{8}{2} = 4\).
\(y_1 = \dfrac{3 - 5}{2\cdot1} =\dfrac{-2}{2} = -1\).
\(y^2 - 3y - 4 = (y - 4)(y + 1)\)
\(\dfrac{y + 3}{y + 1} + \dfrac{2}{y - 4} + \dfrac{10}{(y - 4)(y + 1)} = 0\) \(/\times (y - 4)(y + 1)\)
ОДЗ: \(y - 4 \ne 0\) и \(y + 1 \ne 0\)
\(y \ne 4\) \(y \ne -1\)
\((y + 3)(y - 4) + 2(y + 1) + 10 = 0\)
\(y^2 - 4y + 3y - 12 + 2y + 2 + 10 = 0\)
\(y^2 + y = 0\)
\(y(y + 1) = 0\)
\(y = 0\) или \( y + 1 = 0\)
\(y = -1\) - не подходит.
Если \(y = 0\), то
\(x^2 = 0\)
\(x = 0\)
Ответ: \(x = 0\).
Пояснения:
1. В обоих пунктах используются выражения, зависящие только от \(x^2\) и \(x^4\), поэтому удобно сделать подстановку \[ y = x^2,\quad x^4 = y^2. \] Это превращает уравнение с рациональными функциями от \(x\) в уравнение с рациональными функциями от \(y\), причём степени уменьшаются.
2. В пункте а) после подстановки получаем дробно-рациональное уравнение \[ \frac{y^2}{y - 2} + \frac{1 - 4y}{2 - y} + 4 = 0. \] Замечаем, что \(2 - y = -(y - 2)\), поэтому вторую дробь можно записать с тем же знаменателем, изменив знак перед дробью на противоположный. Складываем дроби с одинаковыми знаменателями и, домножив уравнение на \(y - 2\), получаем квадратное уравнение \[ y^2 + 8y - 9 = 0, \] решаем квадратное уравнение через дискриминант, получаем 2 корня и оставляем только неотрицательный корень \(y = 1\), так как \(y = x^2 \ge 0\). Далее возвращаемся к \(x\): \(x = \pm 1\).
3. В пункте б) после подстановки уравнение принимает вид
\(\dfrac{y + 3}{y + 1} + \dfrac{2}{y - 4} + \dfrac{10}{y^2 - 3y - 4} = 0\).
Знаменатель \(y^2 - 3y - 4\) разложили на множители через корни квадратного трехчлена, которые нашли через дискриминант и получили:
\[ \frac{y + 3}{y + 1} + \frac{2}{y - 4} + \frac{10}{(y - 4)(y + 1)} = 0. \]
Далее домножили уравнение на знаменатель \((y - 4)(y + 1)\) и, выполнив преобразования, получили уравнение:
\( y^2 + y = 0\).
Вынесли общий множитель \(y\) за скобки:
\(y(y + 1) = 0\).
Откуда \(y = 0 \text{ или } y = -1. \)
С учётом того, что \(y = x^2 \ge 0\) и что \(y = -1\) даёт деление на ноль, остаётся только \(y = 0\), откуда \(x = 0\).
Вернуться к содержанию учебника