Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение, обозначив одно из слагаемых через \(t\), а другое через \(\dfrac{1}{t}\):
а) \(\dfrac{x^2 + 1}{x} + \dfrac{x}{x^2 + 1} = 2\dfrac{1}{2};\)
б) \(\dfrac{x^2 + 2}{3x - 2} + \dfrac{3x - 2}{x^2 + 2} = 2\dfrac{1}{6}.\)
Вспомните:
а) \(\dfrac{x^2 + 1}{x} + \dfrac{x}{x^2 + 1} = 2\dfrac{1}{2}\)
ОДЗ: \(x \ne 0.\)
Пусть \(t = \dfrac{x^2 + 1}{x}\), тогда \(\dfrac{x}{x^2 + 1} = \dfrac{1}{t}\).
\(t + \dfrac{1}{t} = 2\dfrac{1}{2}\)
\(t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{2}\) \(/\times 2t\)
\(2t^2 + 2 = 5t\).
\(2t^2 - 5t + 2 = 0.\)
\(D = 5^2 - 4\cdot2\cdot2 =\)
\(= 25 - 16 = 9 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {9} = 3\).
\(t_{1} = \dfrac{5 + 3}{2\cdot2}=\frac{8}{4} = 2\).
\(t_{2} = \dfrac{5 - 3}{2\cdot2}=\frac{2}{4} = \frac12\).
1) Если \(t = 2\), то
\(\dfrac{x^2 + 1}{x} = 2\) \(/\times x\)
\( x^2 + 1 = 2x\)
\(x^2 - 2x + 1 = 0 \)
\((x - 1)^2 = 0 \)
\(x - 1 = 0\)
\(x = 1.\)
2) Если \(t = \frac12\), то
\(\dfrac{x^2 + 1}{x} = \frac12\) \(/\times 2x\)
\(2(x^2 + 1) = x\)
\(2x^2 + 2 = x\)
\(2x^2 - x + 2 = 0.\)
\(D = (-1)^2 - 4\cdot2\cdot2=\)
\(=1-16= -15 < 0\) — корней нет.
Ответ: \(x = 1.\)
б) \(\dfrac{x^2 + 2}{3x - 2} + \dfrac{3x - 2}{x^2 + 2} = 2\dfrac{1}{6}\)
ОДЗ: \(3x - 2 \ne 0 \)
\(3x \ne 2 \)
\( x \ne \dfrac{2}{3}.\)
Пусть \(t = \dfrac{x^2 + 2}{3x - 2}\), тогда \(\dfrac{3x - 2}{x^2 + 2} = \dfrac{1}{t}\).
\(t + \dfrac{1}{t} = 2\dfrac{1}{6}\)
\(t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{13}{6}\) \(/\times 6t\)
\(6t^2 + 6 = 13t\)
\(6t^2 - 13t + 6 = 0\)
\(D = 13^2 - 4\cdot6\cdot6 =\)
\(=169 - 144= 25 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt{25} = 5\).
\(t_{1} = \dfrac{13 + 5}{2\cdot6} = \dfrac{18}{12}= \dfrac{3}{2}.\)
\(t_{2} = \dfrac{13 - 5}{2\cdot6} = \dfrac{8}{12}= \dfrac{2}{3}.\)
1) Если \(t = \dfrac{3}{2},\) то
\(\dfrac{x^2 + 2}{3x - 2} = \dfrac{3}{2}\) \(/\times 2(3x-2)\)
\(2(x^2 + 2) = 3(3x - 2)\)
\(2x^2 + 4 = 9x - 6\)
\(2x^2 + 4 - 9x + 6=0\)
\(2x^2 - 9x + 10 = 0\)
\(D = 9^2 - 4\cdot2\cdot10 =\)
\(=81 - 80 = 1 > 0\) - 2 корня.
\(x_{1} = \dfrac{9 + 1}{2\cdot2} =\dfrac{10}{4}= \dfrac{5}{2} = 2,5\).
\(x_{2} = \dfrac{9 - 1}{2\cdot2} = \dfrac{8}{4} = 2\).
2) Если \(t = \dfrac{2}{3},\) то
\(\dfrac{x^2 + 2}{3x - 2} = \dfrac{2}{3}\) \(/\times 3(3x-2)\)
\(3(x^2 + 2) = 2(3x - 2)\)
\(3x^2 + 6 = 6x - 4\)
\(3x^2 + 6 - 6x + 4 = 0\)
\(3x^2 - 6x + 10 = 0\)
\(D = (-6)^2 - 4\cdot3\cdot10 =\)
\(=36 - 120 = -84 < 0\) — корней нет.
Ответ: \( 2,\; 2,5.\)
Пояснения:
Основной приём: в уравнениях вида \[ A(x) + B(x) =k, \] где \(A(x)\) и \(B(x)\) — взаимно обратные дроби, \(k\) - произвольное число, удобно ввести замену \[ t = A(x),\quad B(x) = \frac{1}{t}. \] Тогда уравнение сводится к виду \[ t + \frac{1}{t} = k, \] которое далее преобразуем к квадратному: \[ t + \frac{1}{t} = k \;\Rightarrow\; t^2 - kt + 1 = 0 \] (после умножения на \(t\) или на общий знаменатель).
Получив значения \(t\), решаем уже простые рациональные уравнения для исходной переменной \(x\), не забывая предварительно указать область допустимых значений (нули знаменателей).
Вернуться к содержанию учебника