Упражнение 339 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 107

а) \(x^2 - 5x - 50 < 0\)

\(y = x^2 - 5x - 50\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 - 5x - 50 = 0\)

\(D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-50) =\)

\(=25 + 200 = 225 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{225} = 15\).

\(x_{1} = \dfrac{5 + 15}{2\cdot1}= \dfrac{20}{2} = 10\).

\(x_{2} = \dfrac{5 - 15}{2\cdot1}= \dfrac{-10}{2} = -5\).

Ответ: \(x \in (-5; 10)\).

б) \(-m^2 - 8m + 9 \ge 0\)

\(y = -m^2 - 8m + 9\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(-m^2 - 8m + 9=0\)   \(/\times (-1)\)

\(m^2 + 8m - 9 = 0\)

\(D = 8^2 - 4\cdot1\cdot(-9) =\)

\(=64 + 36 = 100 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt {100} = 10\).

\(m_{1} = \dfrac{-8 + 10}{2} = \dfrac22= 1\).

\(m_{2} = \dfrac{-8 - 10}{2} = \dfrac{-18}{2}= -9\).

Ответ: \(m \in [-9; 1]\).

в) \(3y^2 + 4y - 4 > 0\)

\(y = 3y^2 + 4y - 4\) - парабола, ветви которой направлен вверх.

\(3y^2 + 4y - 4 = 0\)

\(D = 4^2 - 4\cdot3\cdot(-4) =\)

\(16 + 48 = 64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{64} = 8\).

\(y_{1} = \dfrac{-4 + 8}{2\cdot3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\).

\(y_{2} = \dfrac{-4 - 8}{2\cdot3} = \dfrac{-12}{6} = -2\).

Ответ: \(y \in (- \infty ; -2) \cup (\frac23; + \infty)\).

г) \(8p^2 + 2p \ge 21\)

\(8p^2 + 2p - 21 \ge 0\)

\(y = 8p^2 + 2p - 21\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(8p^2 + 2p - 21 = 0\)

\(D = 2^2 - 4\cdot8\cdot(-21) =\)

\(=4 + 672 = 676 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{676} = 26\).

\(p_{1} = \dfrac{-2 + 26}{2\cdot8} = \dfrac{24}{16} = \dfrac{3}{2} = 1,5\).

\(p_{1} = \dfrac{-2 - 26}{2\cdot8} = \dfrac{-28}{16} = -\dfrac{7}{4} = -1,75\).

Ответ: \(p \in (- \infty ; -1,75] \cup [1,5; + \infty)\).

д) \(12x - 9 \le 4x^2\)

\(-4x^2 + 12x - 9 \le 0\)

\(y = -4x^2 + 12x - 9\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(-4x^2 + 12x - 9 = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(4x^2 - 12x + 9 =0\)

\(D = (-12)^2 - 4\cdot4\cdot9 = \)

\(=144 - 144 = 0\) - 1 корень.

\(x = \dfrac{12}{2\cdot4} =\dfrac{12}{8}= \dfrac{3}{2} = 1,5\).

Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).

е) \(-9x^2 < 1 - 6x\)

\(y =-9x^2 < 1 - 6x\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(-9x^2 < 1 - 6x = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(9x^2 - 6x + 1 = 0\)

\(D = (-6)^2 - 4\cdot9\cdot1 =\)

\(=36 - 36 = 0\) - 1 корень.

\(x = \dfrac{6}{2\cdot9} = \dfrac{6}{18}= \dfrac{1}{3}\).

Ответ: \( x \in (-\infty; \tfrac{1}{3}) \cup (\tfrac{1}{3}; +\infty). \)

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c \ge 0\),

\(ax^2 + bx + c < 0\), \(ax^2 + bx + c \le 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)), выше оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \ge 0\)) или ниже оси \(x\) и на оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c \le 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.