Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение:
а) \(x^3 + \dfrac{1}{x^3} = 22\left(x + \dfrac{1}{x}\right);\)
б) \(x^3 - \dfrac{1}{x^3} = 19\left(x - \dfrac{1}{x}\right).\)
Вспомните:
а) \(x^3 + \dfrac{1}{x^3} = 22\left(x + \dfrac{1}{x}\right)\)
ОДЗ: \(x \ne 0.\)
Пусть \( x + \frac{1}{x}=t\), тогда
\( \left(x + \frac{1}{x}\right)^3=t^3\)
\(x^3 + 3x^{\cancel2}\cdot \frac{1}{\cancel x} + 3\cancel x\cdot \frac{1}{x^{\cancel 2}} + \frac{1}{x^3} = t^3\)
\(x^3 + 3x + 3\cdot\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} = t^3\)
\(x^3 + \frac{1}{x^3} + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) = t^3\)
\(x^3 + \frac{1}{x^3} + 3t = t^3\)
\(x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t\)
Получим уравнение:
\[ t^3 - 3t = 22t \]
\[ t^3 - 3t - 22t = 0 \]
\[ t^3 - 25t = 0 \]
\[ t(t^2 - 25) = 0 \]
\[ t(t - 5)(t + 5) = 0 \]
или \(t = 0\),
или \(t - 5 = 0, \Rightarrow t = 5\),
или \(t + 5 = 0, \Rightarrow t = -5\).
1) Если \(t = 0\), то
\( x + \frac{1}{x} = 0 \) \(/\times x\)
\(x^2 + 1 = 0 \)
\(x^2 = -1\) - корней нет.
2) Если \(t = 5,\) то
\( x + \frac{1}{x} = 5 \) \(/\times x\)
\(x^2 + 1 = 5x\)
\(x^2 - 5x + 1 = 0\)
\( D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot1 \)
\(= 25 - 4 = 21 > 0\) - 2 корня.
\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}. \]
3) Если \(t = -5\), то
\( x + \frac{1}{x} = -5 \) \(/\times x\)
\(x^2 + 1 = -5x\)
\(x^2 + 5x + 1 = 0 \)
\( D = 5^2 - 4\cdot1\cdot1 =\)
\(= 25 - 24 = 21 > 0\) - 2 корня.
\[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}. \]
Ответ: \(x = \dfrac{5 \pm \sqrt{21}}{2};\)
\(x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}.\)
б) \(x^3 - \dfrac{1}{x^3} = 19\left(x - \dfrac{1}{x}\right)\)
ОДЗ: \(x \ne 0.\)
Пусть \( x - \dfrac{1}{x} = t\), тогда
\( \left(x - \frac{1}{x}\right)^3=t^3\)
\(x^3 - 3x^{\cancel2}\cdot \frac{1}{\cancel x} + 3\cancel x\cdot \frac{1}{x^{\cancel 2}} - \frac{1}{x^3} = t^3\)
\(x^3 - 3x + 3\cdot\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3} = t^3\)
\(x^3 - \frac{1}{x^3} - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) = t^3\)
\(x^3 - \frac{1}{x^3} - 3t = t^3\)
\(x^3 - \frac{1}{x^3} = t^3 + 3t\)
Получим уравнение:
\( t^3 + 3t = 19t\)
\( t^3 + 3t - 19t = 0\)
\( t^3 - 16t = 0\)
\( t(t^2 - 16) = 0\)
\( t(t - 4)(t+4) = 0\)
или \(t = 0\),
или \(t - 4 = 0, \Rightarrow t = 4\),
или \(t + 4 = 0, \Rightarrow t = -4\).
1) Если \(t = 0\), то
\( x - \frac{1}{x} = 0 \) \(/\times x\)
\(x^2 - 1 = 0\)
\(x^2 = 1\)
\( x = \pm 1. \)
2) Если \(t = 4,\) то
\( x - \frac{1}{x} = 4\) \(/\times x\)
\(x^2 - 1 = 4x\)
\(x^2 - 4x - 1 = 0\)
\( D = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot1=\)
\(=16 + 4= 20 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt{20} = \sqrt{4\cdot 5} = 2\sqrt5\).
\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}. \]
3) Если \(t = -4\), то
\( x - \frac{1}{x} = -4 \) \(/\times x\)
\(x^2 - 1 = -4x\)
\(x^2 + 4x - 1 = 0\)
\( D = 4^2 - 4\cdot1\cdot(-1) = 20\)
\(\sqrt{20} = \sqrt{4\cdot 5} = 2\sqrt5\).
\[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}. \]
Ответ: \(x = \pm 1;\; x = 2 \pm \sqrt{5};\)
\(x = -2 \pm \sqrt{5}.\)
Пояснения:
1. Во всех уравнениях встречаются выражения вида \(x \pm \dfrac{1}{x}\) и \(x^3 \pm \dfrac{1}{x^3}\), поэтому удобно ввести новую переменную: \[ t = x + \frac{1}{x} \quad \text{или} \quad t = x - \frac{1}{x}. \] Тогда кубические выражения можно заменить по формулам:
\( x^3 + \frac{1}{x^3} =\)
\(=\left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) =\)
\(=t^3 - 3t, \)
\( x^3 - \frac{1}{x^3} =\)
\(\left(x - \frac{1}{x}\right)^3 + 3\left(x - \frac{1}{x}\right) =\)
\(=t^3 + 3t. \)
2. После подстановки исходные уравнения превращаются в простые кубические, которые легко сводятся к виду \[ t(t^2 - c) = 0, \] то есть дают значения
\(t = 0\) и \(t = \pm\sqrt{c}\).
3. Затем возвращаемся к исходной переменной, решая квадратные уравнения \[ x \pm \frac{1}{x} = t \Rightarrow x^2 \mp tx + 1 = 0. \] Для каждого \(t\) вычисляем дискриминант и находим возможные значения \(x\), не забывая, что \(x \ne 0\) (так как в исходных уравнениях присутствуют \(\frac{1}{x}\)).
Вернуться к содержанию учебника