Упражнение 338 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^3 + \dfrac{1}{x^3} = 22\left(x + \dfrac{1}{x}\right)\)

ОДЗ: \(x \ne 0.\)

Пусть \( x + \frac{1}{x}=t\), тогда

\( \left(x + \frac{1}{x}\right)^3=t^3\)

\(x^3 + 3x^{\cancel2}\cdot \frac{1}{\cancel x} + 3\cancel x\cdot \frac{1}{x^{\cancel 2}} + \frac{1}{x^3} = t^3\)

\(x^3 + 3x + 3\cdot\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} = t^3\)

\(x^3 + \frac{1}{x^3} + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) = t^3\)

\(x^3 + \frac{1}{x^3} + 3t = t^3\)

\(x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t\)

Получим уравнение:

\[ t^3 - 3t = 22t \]

\[ t^3 - 3t - 22t = 0 \]

\[ t^3 - 25t = 0 \]

\[ t(t^2 - 25) = 0 \]

\[ t(t - 5)(t + 5) = 0 \]

или \(t = 0\),

или \(t - 5 = 0, \Rightarrow t = 5\),

или \(t + 5 = 0, \Rightarrow t = -5\).

1) Если \(t = 0\), то

\( x + \frac{1}{x} = 0 \)  \(/\times x\)

\(x^2 + 1 = 0 \)

\(x^2 = -1\) - корней нет.

2) Если \(t = 5,\) то

\( x + \frac{1}{x} = 5 \)  \(/\times x\)

\(x^2 + 1 = 5x\)

\(x^2 - 5x + 1 = 0\)

\( D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot1 \)

\(= 25 - 4 = 21 > 0\) - 2 корня.

\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}. \]

3) Если \(t = -5\), то

\( x + \frac{1}{x} = -5 \)  \(/\times x\)

\(x^2 + 1 = -5x\)

\(x^2 + 5x + 1 = 0 \)

\( D = 5^2 - 4\cdot1\cdot1 =\)

\(= 25 - 24 = 21 > 0\) - 2 корня.

\[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}. \]

Ответ: \(x = \dfrac{5 \pm \sqrt{21}}{2};\)

\(x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}.\)

б) \(x^3 - \dfrac{1}{x^3} = 19\left(x - \dfrac{1}{x}\right)\)

ОДЗ: \(x \ne 0.\)

Пусть \( x - \dfrac{1}{x} = t\), тогда

\( \left(x - \frac{1}{x}\right)^3=t^3\)

\(x^3 - 3x^{\cancel2}\cdot \frac{1}{\cancel x} + 3\cancel x\cdot \frac{1}{x^{\cancel 2}} - \frac{1}{x^3} = t^3\)

\(x^3 - 3x + 3\cdot\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3} = t^3\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3} - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) = t^3\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3} - 3t = t^3\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3} = t^3 + 3t\)

Получим уравнение:

\( t^3 + 3t = 19t\)

\( t^3 + 3t - 19t = 0\)

\( t^3 - 16t = 0\)

\( t(t^2 - 16) = 0\)

\( t(t - 4)(t+4) = 0\)

или \(t = 0\),

или \(t - 4 = 0, \Rightarrow t = 4\),

или \(t + 4 = 0, \Rightarrow t = -4\).

1) Если \(t = 0\), то

\( x - \frac{1}{x} = 0 \)  \(/\times x\)

\(x^2 - 1 = 0\)

\(x^2 = 1\)

\( x = \pm 1. \)

2) Если \(t = 4,\) то

\( x - \frac{1}{x} = 4\)    \(/\times x\)

\(x^2 - 1 = 4x\)

\(x^2 - 4x - 1 = 0\)

\( D = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot1=\)

\(=16 + 4= 20 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{20} = \sqrt{4\cdot 5} = 2\sqrt5\).

\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}. \]

3) Если \(t = -4\), то

\( x - \frac{1}{x} = -4 \)  \(/\times x\)

\(x^2 - 1 = -4x\)

\(x^2 + 4x - 1 = 0\)

\( D = 4^2 - 4\cdot1\cdot(-1) = 20\)

\(\sqrt{20} = \sqrt{4\cdot 5} = 2\sqrt5\).

\[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}. \]

Ответ: \(x = \pm 1;\; x = 2 \pm \sqrt{5};\)

\(x = -2 \pm \sqrt{5}.\)

Пояснения:

1. Во всех уравнениях встречаются выражения вида \(x \pm \dfrac{1}{x}\) и \(x^3 \pm \dfrac{1}{x^3}\), поэтому удобно ввести новую переменную: \[ t = x + \frac{1}{x} \quad \text{или} \quad t = x - \frac{1}{x}. \] Тогда кубические выражения можно заменить по формулам:

\( x^3 + \frac{1}{x^3} =\)

\(=\left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) =\)

\(=t^3 - 3t, \)

\( x^3 - \frac{1}{x^3} =\)

\(\left(x - \frac{1}{x}\right)^3 + 3\left(x - \frac{1}{x}\right) =\)

\(=t^3 + 3t. \)

2. После подстановки исходные уравнения превращаются в простые кубические, которые легко сводятся к виду \[ t(t^2 - c) = 0, \] то есть дают значения

\(t = 0\) и \(t = \pm\sqrt{c}\).

3. Затем возвращаемся к исходной переменной, решая квадратные уравнения \[ x \pm \frac{1}{x} = t \Rightarrow x^2 \mp tx + 1 = 0. \] Для каждого \(t\) вычисляем дискриминант и находим возможные значения \(x\), не забывая, что \(x \ne 0\) (так как в исходных уравнениях присутствуют \(\frac{1}{x}\)).

а) \(\dfrac{5x + 4}{x} < 4 \)

\(\dfrac{5x + 4}{x} - 4 ^{\color{blue}{\backslash x}} < 0\)

\(\dfrac{5x + 4 - 4x}{x} < 0 \)

\(\dfrac{x + 4}{x} < 0\)

\((x+4)x < 0\)

\((x+4)x = 0\)

\(x + 4 = 0\)  или   \(x = 0\)

\(x = -4\)

Ответ: \(x \in (-4; 0)\).

б) \(\dfrac{6x + 1}{x + 1} > 1 \)

\(\dfrac{6x + 1}{x + 1} - 1 > 0 \)

\(\dfrac{6x + 1 - (x + 1)}{x + 1} > 0\)

\(\dfrac{6x + 1 - x - 1}{x + 1} > 0\)

\(\dfrac{5x}{x + 1} > 0 \)

\(5x(x+1) > 0\)   \( / :5\)

\(x(x+1) > 0\)

\(x(x+1) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(x + 1 = 0\)

                       \(x = -1\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)\).

в) \(\dfrac{x}{x - 1} \ge 2 \)

\(\dfrac{x}{x - 1} - 2 ^{\color{blue}{\backslash x-1}} \ge 0 \)

\(\dfrac{x - 2(x - 1)}{x - 1} \ge 0\)

\(\dfrac{x - 2x + 2}{x - 1} \ge 0 \)

\(\dfrac{-x + 2}{x - 1} \ge 0\)

\(\begin{cases} (-x + 2)(x-1) \ge 0, \\ x - 1 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (-x + 2)(x-1) \ge 0, \\ x \ne 1 \end{cases}\)

\((-x + 2)(x-1) \ge 0\)

\((-x + 2)(x-1) = 0\)

\(-x + 2 = 0\)   или   \(x - 1 = 0\)

\(x =2\)                       \(x = 1\)

Ответ: \(x \in (1; 2]\).

г) \(\dfrac{3x - 1}{x + 2} \ge 1 \)

\(\dfrac{3x - 1}{x + 2} - 1 ^{\color{blue}{\backslash x+2}} \ge 0 \)

\(\dfrac{3x - 1 - (x + 2)}{x + 2} \ge 0\)

\(\dfrac{3x - 1 - x - 2}{x + 2} \ge 0\)

\(\dfrac{2x - 3}{x + 2} \ge 0\)

\(\begin{cases} (2x - 3)(x + 2) \ge 0, \\ x + 2 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (2x - 3)(x + 2) \ge 0, \\ x \ne -2 \end{cases}\)

\((2x - 3)(x + 2) \ge 0\)

\((2x - 3)(x + 2) = 0\)

\(2x - 3 = 0\)   или   \(x + 2 = 0\)

\(2x = 3\)                    \(x = -2\)

\(x=\frac32\)

\(x = 1,5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup [1,5; +\infty)\).

Пояснения:

Во всех пунктах сначала переносим число из правой части в левую и приводим к общему знаменателю выражение в левой части.

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} < 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} > 0\) равносильны неравенствам \((x - a)(x-b) < 0\) и \((x - a)(x-b) > 0\) соответственно, которые решаем методом интервалов.

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} \le 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} \ge 0\) равносильны системам:

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \le 0, \\ x - b \ne 0;\end{cases}\) и

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \ge 0, \\ x - b \ne 0.\end{cases}\)

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Обратите внимание, значение \(x\), при котором знаменатель равен нулю, всегда обозначается "выколотой" (незакрашенной) точкой, независимо от знака неравенства, так как функция в этой точке не существует.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.