Вернуться к содержанию учебника
Найдите корни уравнения:
а) \(\dfrac{1}{x^2 - 6x + 8} - \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{10}{x^2 - 4} = 0\);
б) \(\dfrac{3}{x^2 - x - 6} + \dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{7}{x^2 - 9}\).
Вспомните:
а) \(\dfrac{1}{x^2 - 6x + 8} - \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{10}{x^2 - 4} = 0\)
\(x^2 - 6x + 8 = 0\)
\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot8 = \)
\(=36 - 32 = 4 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt 4 = 2\)
\(x_1 = \frac{6 + 2}{2\cdot1} = \frac82 = 4\).
\(x_2 = \frac{6 - 2}{2\cdot1} = \frac42 = 2\).
\(x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)\)
\(\dfrac{1}{(x - 2)(x - 4)} - \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{10}{(x - 2)(x + 2)} = 0\) \(/\times(x-2)(x+2)(x-4)\)
ОДЗ:
\(x - 2 \ne 0, \Rightarrow x\neq 2;\)
\(x + 2 \ne 0, \Rightarrow x\neq -2;\)
\(x - 4 \ne 0, \Rightarrow x\neq 4.\)
\(x+2 - (x+2)(x-4) + 10(x - 4) = 0\)
\(x + 2 - (x^2 - 4x + 2x - 8) + 10x - 40 = 0\)
\(x + 2 - x^2 + 4x - 2x + 8 + 10x - 40 = 0\)
\(-x^2 + 13x - 30 = 0\) \(/\times (-1)\)
\(x^2 - 13x + 30 = 0\)
\(D = (-13)^2 - 4\cdot 1\cdot30 = \)
\(=169 - 120 = 49 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {49} = 7\)
\(x_1 = \frac{13 + 7}{2\cdot1} = \frac{20}{2}=10\).
\(x_2 = \frac{13 - 7}{2\cdot1} = \frac{6}{2}=3\).
Ответ: \(x = 3,\; x = 10\)
б) \(\dfrac{3}{x^2 - x - 6} + \dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{7}{x^2 - 9}\).
\(x^2 - x - 6 = 0\)
\(D = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-6) = \)
\(= 1 + 24 = 25 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {25} = 5\).
\(x_1 = \frac{1 + 5}{2\cdot1} = \frac62 = 3\).
\(x_2 = \frac{1 - 5}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).
\(x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\)
\(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\)
\(\dfrac{3}{(x - 3)(x + 2)} + \dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{7}{(x - 3)(x + 3)}\) \(/\times(x+2)(x+3)(x-3)\)
ОДЗ:
\(x + 2 \ne 0, \Rightarrow x\neq -2;\)
\(x + 3 \ne 0, \Rightarrow x\neq -3;\)
\(x - 3 \ne 0, \Rightarrow x\neq 3.\)
\(3(x+3) + 3(x + 3)(x - 3) = 7(x+2)\)
\(3x + 9 + 3(x^2 - 9) = 7x + 14\)
\(3x + 9 + 3x^2 - 27 - 7x - 14 = 0\)
\(3x^2 - 4x - 32 = 0\)
\(D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) =\)
\(=16 + 384 = 400 > 0 \) - 2 корня.
\(\sqrt{400} = 20\).
\(x_{1} = \dfrac{4 + 20}{2\cdot3} = \frac{24}{6} = 4.\)
\(x_{2} = \dfrac{4 - 20}{2\cdot3} = \frac{-16}{6} = -\frac{-8}{3} = - 2\frac{2}{3}.\)
Ответ: \(x = 4,\; x = -\dfrac{8}{3}\).
Пояснения:
Алгоритм решения уравнений:
1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);
2) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
Приемы разложения на множители:
• \(x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)\),
где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трехчлена.
• разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
Квадратное уравнение вида
\(ax^2 + bx + c = 0\) решаем через дискриминант \(D =b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b +\sqrt D}{2a}\).
Вернуться к содержанию учебника