Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение, используя введение новой переменной:
а) \(2\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - \left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 2;\)
б) \(9x^2 - 18x + \dfrac{9}{x^2} - \dfrac{18}{x} = 22.\)
Вспомните:
а) \(2\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - \left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 2\)
ОДЗ: \(x \ne 0.\)
Пусть \(t = x + \dfrac{1}{x}\), тогда
\(\left( x + \frac{1}{x}\right)^2 = t^2\)
\( x^{2} + 2\cdot \cancel x\cdot\frac{1}{\cancel x} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} \)
\( x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} \)
\(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2 \)
\( 2(t^2 - 2) - t = 2\)
\( 2t^2 - 4 - t - 2=0\)
\( 2t^2 - t - 6 = 0\)
\( D = (-1)^2 - 4\cdot2\cdot(-6) =\)
\(=1 + 48 = 49 > 0\) - 2 корня.
\( t_{1} = \frac{1 + 7}{2\cdot2} = \frac{8}{4} = 2\).
\( t_{2} = \frac{1 - 7}{2\cdot2} = \frac{-6}{4} =-\frac32\).
1) Если \(е = 2\), то
\( x + \frac{1}{x} = 2 \) \(/\times x\)
\(x^2 + 1 = 2x\)
\(x^2 - 2x + 1 = 0 \)
\((x - 1)^2 = 0\)
\(x - 1 = 0\)
\(x = 1. \)
2) Если \(t = -\dfrac{3}{2}\), то
\( x + \frac{1}{x} = -\frac{3}{2} \) \(/\times 2x\)
\(2x^2 + 2 = -3x\)
\( 2x^2 + 3x + 2 = 0\)
\(D = 3^2 - 4\cdot2\cdot2 =\)
\(=9 - 16 = -7 < 0\) - корней нет.
Ответ: \(x = 1\).
б) \(9x^2 - 18x + \dfrac{9}{x^2} - \dfrac{18}{x} = 22\)
\( \left(9x^2 + \frac{9}{x^2}\right) - \left(18x - \frac{18}{x}\right)= 22 \)
\( 9\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 18\left(x + \frac{1}{x}\right) = 22\)
ОДЗ: \(x \ne 0.\)
Пусть \( t = x + \frac{1}{x},\) тогда
\(\left( x + \frac{1}{x}\right)^2 = t^2\)
\( x^{2} + 2\cdot \cancel x\cdot\frac{1}{\cancel x} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} \)
\( x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} \)
\(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2 \)
\( 9(t^2 - 2) - 18t = 22\)
\( 9t^2 - 18 - 18t - 22 = 0\)
\[ 9t^2 - 18t - 40 = 0. \]
\( D = (-18)^2 - 4\cdot9\cdot(-40) = \)
\(=324 + 1440 = 1764 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {1764} = 42\).
\(t_{1} = \frac{18 + 42}{2\cdot9} =\frac{60}{18} = \frac{10}{3}\).
\(t_{2} = \frac{18 - 42}{2\cdot9} =\frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}\).
1) Если \(t = \dfrac{10}{3}\), то
\( x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}\) \(/\times 3x\)
\(3x^2 + 3 = 10x\)
\(3x^2 - 10x + 3 = 0\)
\(D = (-10)^2 - 4\cdot3\cdot3 =\)
\(=100 - 36 = 64 > 0\) - 2 корня.
\( x_{1} = \frac{10 + 8}{2\cdot3} =\frac{18}{6}= 3\).
\( x_{2} = \frac{10 - 8}{2\cdot3} =\frac{2}{6}= \frac{1}{3}\).
2) Если \(t = -\dfrac{4}{3}\), то
\( x + \frac{1}{x} = -\frac{4}{3} \) \(/\times 3x\)
\(x^2 + \frac{4}{3}x + 1 = 0\)
\( 3x^2 + 4x + 3 = 0\)
\(D = 4^2 - 4\cdot3\cdot3 =\)
\(=16 - 36 = -20 < 0\) - корней нет.
Ответ: \(x = 3;\; x = \dfrac{1}{3}.\)
Пояснения:
1. В обоих уравнениях встречается выражение \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) вместе с \(x + \dfrac{1}{x}\). Удобно ввести новую переменную:
\(t = x + \frac{1}{x}, \)
тогда квадратное выражение выражается через неё по формуле:
\((x + \tfrac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \tfrac{1}{x^{2}}. \)
2. После подстановки получаем обычные квадратные уравнения по новой переменной \(t\) вида \(at^2 + bt + c = 0\). Решаем их через дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}.\)
Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.
Затем для каждого значения новой переменной решаем ещё одно квадратное уравнение относительно \(x\).
3. Условие \(x \ne 0\) важно, чтобы выражения \(\dfrac{1}{x}\) были определены. Все найденные корни удовлетворяют этому условию, поэтому все они входят в ответ.
Вернуться к содержанию учебника