Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение:
а) \(\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2 - 16\left(\dfrac{x-2}{x+1}\right)^2 = 15;\)
б) \(\left(\dfrac{x+3}{x-5}\right)^2 - 9\left(\dfrac{x-5}{x+3}\right)^2 = 8.\)
Вспомните:
а) \(\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2 - 16\left(\dfrac{x-2}{x+1}\right)^2 = 15\)
ОДЗ: \(x - 2 \ne 0\) и \(x + 1 \ne 0\)
\(x \ne 2\) \(x \ne -1\)
Пусть \(t = \left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2 \ge 0\), тогда
\(\left(\dfrac{x-2}{x+1}\right)^2 = \dfrac{1}{t}\).
\(t - 16\cdot\dfrac{1}{t} = 15\) \(/\times t\)
\(t^2 - 16 = 15t\)
\(t^2 - 15t - 16 = 0\)
\(D = (-15)^2 - 4\cdot1\cdot (-16) =\)
\(=225 + 64 = 289 > 0 \) - 2 корня.
\(\sqrt{289} = 17.\)
\(t_{1} = \dfrac{15 + 17}{2\cdot1} = \dfrac{32}{2} = 16\).
\(t_{2} = \dfrac{15 - 17}{2\cdot1} = \dfrac{-2}{2} = -1 < 0\) - не удовлетворяет условию \(t \ge 0\)
Если \(t = 16\), то
\(\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2 = 16\)
\(\dfrac{x+1}{x-2} = \pm\sqrt{16}\)
\(\dfrac{x+1}{x-2} = \pm4\)
1) \(\dfrac{x+1}{x-2} = 4 \) \(/\times (x-2)\)
\(x+1 = 4(x - 2)\)
\(x+1 = 4x - 8\)
\(x - 4x = -8 - 1\)
\(-3x = -9 \)
\(x = \frac{-9}{-3}\)
\(x = 3\)
2) \(\dfrac{x+1}{x-2} = -4\) \(/\times (x-2)\)
\(x+1 = -4(x - 2) \)
\(x+1 = -4x + 8 \)
\(x + 4x = 8 - 1\)
\(5x = 7 \)
\(x = \dfrac{7}{5}\)
\(x = 1,4\)
Ответ: \(x = 3,\; x = 1,4\).
б) \(\left(\dfrac{x+3}{x-5}\right)^2 - 9\left(\dfrac{x-5}{x+3}\right)^2 = 8\)
Пусть \(t = \left(\dfrac{x+3}{x-5}\right)^2\), тогда
\(\left(\dfrac{x-5}{x+3}\right)^2 = \dfrac{1}{t}\).
\(t - 9\cdot\dfrac{1}{t} = 8\) \(/\times t\)
\(t^2 - 9 = 8t\)
\(t^2 - 8t - 9 = 0\)
\(D = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot(-9) =\)
\(=64 + 36 = 100 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt{100} = 10\).
\(t_{1} = \dfrac{8 + 10}{2\cdot1} =\dfrac{18}{2} = 9\).
\(t_{2} = \dfrac{8 - 10}{2\cdot1} =\dfrac{-2}{2} = -1 < 0\) - не удовлетворяет условию \(t \ge 0\).
Если \(t = 9 \), то
\(\left(\dfrac{x+3}{x-5}\right)^2 = 9\)
\(\dfrac{x+3}{x-5} = \pm\sqrt{9}\)
\(\dfrac{x+3}{x-5} = \pm3\)
1) \(\dfrac{x+3}{x-5} = 3 \) \(/\times (x - 5)\)
\(x+3 = 3(x - 5) \)
\(x+3 = 3x - 15 \)
\(x - 3x = -15 - 3\)
\(-2x = -18 \)
\(x = \frac{-18}{-2}\)
\(x = 9\)
2) \(\dfrac{x+3}{x-5} = -3 \)
\(x+3 = -3x + 15 \)
\(x + 3x = 15 - 3\)
\(4x = 12\)
\(x = \dfrac{12}{4}\)
\( x = 3\)
Ответ: \(x = 9,\; x = 3.\)
Пояснения:
В обоих уравнениях дроби вида \(\dfrac{x+1}{x-2}\) и \(\dfrac{x-2}{x+1}\), а также \(\dfrac{x+3}{x-5}\) и \(\dfrac{x-5}{x+3}\) являются взаимно обратными: произведение каждой пары равно 1. Поэтому удобно ввести подстановку \( t\) и \(\dfrac{1}{t}\), учитывая то, что каждая дробь дана во второй степени, должно выполняться условие \(t \ge 0\).
После подстановки получаем дробно-рациональные уравнения относительно переменной \(t\), которые после умножения на \(t\) превращаются в квадратные уравнения вида \(at^2 + bt + c = 0\), которые решаем через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), уравнение имеет 2 корня:
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
В каждом случае один из корней получился отрицательным, что не удовлетворяет условию \(t \ge 0\), поэтому эти корни исключаем.
Далее возвращаемся к переменной \(x\) и имеем уравнения вида \(y^2 = t\), откуда \(y = \pm\sqrt t\), то есть в каждом случае получаем по два дробно-рациональных уравнения относительно переменной \(x\), решив которые получаем по 2 корня уравнения, удовлетворяющих ОДЗ.
Вернуться к содержанию учебника