Упражнение 337 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( a^3 + \frac{1}{a^3} = 3\frac{1}{4}\left(a + \frac{1}{a}\right)\)

ОДЗ: \(a\ne0\)

Пусть \( a + \frac{1}{a}=t\), тогда

\( \left(a + \frac{1}{a}\right)^3=t^3\)

\(a^3 + 3a^{\cancel2}\cdot \frac{1}{\cancel a} + 3\cancel a\cdot \frac{1}{a^{\cancel 2}} + \frac{1}{a^3} = t^3\)

\(a^3 + 3a + 3\cdot\frac{1}{a} + \frac{1}{a^3} = t^3\)

\(a^3 + \frac{1}{a^3} + 3\left(a + \frac{1}{a}\right) = t^3\)

\(a^3 + \frac{1}{a^3} + 3t = t^3\)

\(a^3 + \frac{1}{a^3} = t^3 - 3t\)

Получим уравнение:

\[ t^3 - 3t = 3\frac{1}{4}t. \]

\[ t^3 - 3t - 3\frac{1}{4}t = 0 \]

\[ t^3 - 6\frac{1}{4}t = 0\]

\[ t^3 - \frac{25}{4}t = 0\]

\[ t\left(t^2 - \frac{25}{4}\right) = 0 \]

\[ t\left(t - \frac{5}{2}\right) \left(t + \frac{5}{2}\right) = 0 \]

или \(t = 0\),

или \(t - \frac{5}{2} = 0, \Rightarrow t = \frac{5}{2}\),

или \(t + \frac{5}{2} = 0, \Rightarrow t = -\frac{5}{2}\).

1) Если \(t = 0\), то

\( a + \frac{1}{a} = 0 \)  \(/\times a\)

\(a^2 + 1 = 0\)

\(a^2 = -1\) - не имеет корней.

2) Если \(t = \frac{5}{2}\), то

\( a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}\)  \(/\times 2a\)

\( 2a^2 + 2 = 5a\)

\[ 2a^2 - 5a + 2 = 0 \]

\( D = (-5)^2 - 4\cdot2\cdot2 =\)

\(=25 - 16 = 9 > 0\) - 2 корня.

\( \sqrt 9 = 3\).

\(a_1 = \frac{5 + 3}{2\cdot2} = \frac{8}{4} =2\).

\(a_2 = \frac{5 - 3}{2\cdot2} = \frac{2}{4} =0,5\).

3) Если \(t = -\frac{5}{2}\), то

\( a + \frac{1}{a} = -\frac{5}{2}\)  \(/\times 2a\)

\( 2a^2 + 2 = -5a\)

\( 2a^2 + 5a + 2 = 0 \)

\( D = 5^2 - 4\cdot2\cdot2=\)

\(=25 - 16 = 9 > 0\) - 2 корня.

\( \sqrt 9 = 3\).

\(a_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5\).

\(a_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2\).

Ответ: \( a = 2;\;0,5;\;-2;\;-0,5. \)

Пояснения:

1. Условие «в \(3\dfrac14\) раза меньше» означает, что сумму кубов нужно приравнять к сумме чисел, умноженной на \(3\dfrac{1}{4}\).

2. Вводим замену \(t = a + \frac{1}{a}\), а по формуле куба суммы двух выражений получаем \(a^3 + \frac{1}{a^3} = t^3 - 3t\), что упрощает задачу.

3. Получаем уравнение

\(t(t^2 - \frac{25}{4}) = 0\),

из которого получаем три возможных значения для \(t\), но одно из них (ноль) не даёт действительных \(a\).

4. Два остальных приводят к квадратным уравнениям, каждое из которых даёт два действительных корня. Квадратные уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) решаем через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

а) \(\dfrac{x-8}{x+4} > 2\)

\( \dfrac{x-8}{x+4} - 2^{\color{blue}{\backslash x+4}} > 0\)

\(\dfrac{x-8-2(x+4)}{x+4} > 0\)

\(\dfrac{x-8-2x-8}{x+4} > 0\)

\(\dfrac{-x-16}{x+4} > 0\)

\(\begin{cases} (-x-16)(x+4) > 0, \\ x + 4 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (-x-16)(x+4) > 0, \\ x \ne -4 \end{cases}\)

\((-x-16)(x+4) > 0\)

\((-x-16)(x+4) = 0\)

\(-x - 16 = 0\)   или   \(x + 4 = 0\)

\(-x=16\)                   \(x=-4\)

\(x = -16\)

Ответ: \(x \in (-16; -4)\).

б) \(\dfrac{3-x}{x-2} < 1 \)

\(\dfrac{3-x}{x-2}-1 ^{\color{blue}{\backslash x-2}} < 0\)

\(\dfrac{3-x-(x-2)}{x-2} < 0 \)

\(\dfrac{3-x-x+2}{x-2} < 0 \)

\(\dfrac{5-2x}{x-2} < 0\)

\(\begin{cases} (5-2x)(x-2) < 0, \\ x - 2 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (5-2x)(x-2) < 0, \\ x \ne 2 \end{cases}\)

\((5-2x)(x-2) < 0\)

\((5-2x)(x-2) = 0\)

\(5 - 2x = 0\)   или   \(x - 2 = 0\)

\(2x = 5\)                   \(x = 2\)

\(x = \frac52\)

\(x= 2,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 2) \cup (2,5;+\infty)\).

в) \(\dfrac{7x-1}{x} > 5 \)

\(\dfrac{7x-1}{x} - 5 ^{\color{blue}{\backslash x}} > 0 \)

\(\dfrac{7x-1-5x}{x} > 0\)

\(\dfrac{2x-1}{x} > 0\)

\(\begin{cases} (2x-1)x > 0, \\ x \ne 0 \end{cases}\)

\((2x-1)x > 0\)

\((2x-1)x = 0\)

\(2x - 1 = 0\)   или   \(x = 0\)

\(2x = 1\)

\(x = \frac12\)

\(x = 0,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 0) \cup (0,5;+\infty)\).

г) \(\dfrac{6-2x}{x+4} > 3 \)

\(\dfrac{6-2x}{x+4} - 3 ^{\color{blue}{\backslash x+4}} > 0 \)

\(\dfrac{6-2x-3(x+4)}{x+4} > 0\)

\(\dfrac{6-2x-3x-12}{x+4} > 0 \)

\(\dfrac{-5x-6}{x+4} > 0\)

\(\begin{cases} (-5x-6)(x+4) > 0, \\ x + 4 \ne 0 \end{cases}\)

\((-5x-6)(x+4) > 0\)

\((-5x-6)(x+4) = 0\)

\(-5x - 6 = 0\)   или   \(x + 4 = 0\)

\(-5x = 6\)                   \(x = -4\)

\(x = \frac{6}{-5}\)

\(x = -1,2\)

Ответ: \(x \in (-4; -1,2)\).

Пояснения:

Во всех пунктах сначала переносим число из правой части в левую и приводим к общему знаменателю выражение в левой части.

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} < 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} > 0\) равносильны неравенствам \((x - a)(x-b) < 0\) и \((x - a)(x-b) > 0\) соответственно, которые решаем методом интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.