Упражнение 337 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 107

\( a^3 + \frac{1}{a^3} = 3\frac{1}{4}\left(a + \frac{1}{a}\right)\)

ОДЗ: \(a\ne0\)

Пусть \( a + \frac{1}{a}=t\), тогда

\( \left(a + \frac{1}{a}\right)^3=t^3\)

\(a^3 + 3a^{\cancel2}\cdot \frac{1}{\cancel a} + 3\cancel a\cdot \frac{1}{a^{\cancel 2}} + \frac{1}{a^3} = t^3\)

\(a^3 + 3a + 3\cdot\frac{1}{a} + \frac{1}{a^3} = t^3\)

\(a^3 + \frac{1}{a^3} + 3\left(a + \frac{1}{a}\right) = t^3\)

\(a^3 + \frac{1}{a^3} + 3t = t^3\)

\(a^3 + \frac{1}{a^3} = t^3 - 3t\)

Получим уравнение:

\[ t^3 - 3t = 3\frac{1}{4}t. \]

\[ t^3 - 3t - 3\frac{1}{4}t = 0 \]

\[ t^3 - 6\frac{1}{4}t = 0\]

\[ t^3 - \frac{25}{4}t = 0\]

\[ t\left(t^2 - \frac{25}{4}\right) = 0 \]

\[ t\left(t - \frac{5}{2}\right) \left(t + \frac{5}{2}\right) = 0 \]

или \(t = 0\),

или \(t - \frac{5}{2} = 0, \Rightarrow t = \frac{5}{2}\),

или \(t + \frac{5}{2} = 0, \Rightarrow t = -\frac{5}{2}\).

1) Если \(t = 0\), то

\( a + \frac{1}{a} = 0 \)  \(/\times a\)

\(a^2 + 1 = 0\)

\(a^2 = -1\) - не имеет корней.

2) Если \(t = \frac{5}{2}\), то

\( a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}\)  \(/\times 2a\)

\( 2a^2 + 2 = 5a\)

\[ 2a^2 - 5a + 2 = 0 \]

\( D = (-5)^2 - 4\cdot2\cdot2 =\)

\(=25 - 16 = 9 > 0\) - 2 корня.

\( \sqrt 9 = 3\).

\(a_1 = \frac{5 + 3}{2\cdot2} = \frac{8}{4} =2\).

\(a_2 = \frac{5 - 3}{2\cdot2} = \frac{2}{4} =0,5\).

3) Если \(t = -\frac{5}{2}\), то

\( a + \frac{1}{a} = -\frac{5}{2}\)  \(/\times 2a\)

\( 2a^2 + 2 = -5a\)

\( 2a^2 + 5a + 2 = 0 \)

\( D = 5^2 - 4\cdot2\cdot2=\)

\(=25 - 16 = 9 > 0\) - 2 корня.

\( \sqrt 9 = 3\).

\(a_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5\).

\(a_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2\).

Ответ: \( a = 2;\;0,5;\;-2;\;-0,5. \)

Пояснения:

1. Условие «в \(3\dfrac14\) раза меньше» означает, что сумму кубов нужно приравнять к сумме чисел, умноженной на \(3\dfrac{1}{4}\).

2. Вводим замену \(t = a + \frac{1}{a}\), а по формуле куба суммы двух выражений получаем \(a^3 + \frac{1}{a^3} = t^3 - 3t\), что упрощает задачу.

3. Получаем уравнение

\(t(t^2 - \frac{25}{4}) = 0\),

из которого получаем три возможных значения для \(t\), но одно из них (ноль) не даёт действительных \(a\).

4. Два остальных приводят к квадратным уравнениям, каждое из которых даёт два действительных корня. Квадратные уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) решаем через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).