Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение, используя выделение целой части из дроби:
а) \(\dfrac{x^2 - 5x + 3}{x - 5} - \dfrac{x^2 + 5x + 1}{x + 5} = \dfrac14;\)
б) \(\dfrac{x^2 + 6x + 10}{x + 3} - \dfrac{x^2 - 6x + 7}{x - 3} = 7\dfrac18.\)
Вспомните:
а) \(\dfrac{x^2 - 5x + 3}{x - 5} - \dfrac{x^2 + 5x + 1}{x + 5} = \dfrac14\)
ОДЗ:
\(x - 5 \ne 0, \Rightarrow x\neq 5;\)
\(x + 5 \ne 0, \Rightarrow x\neq -5.\)
\(\dfrac{x(x - 5) + 3}{x - 5} - \dfrac{x(x + 5) + 1}{x + 5} = \dfrac14\)
\(\dfrac{x(x - 5)}{x - 5} + \dfrac{3}{x - 5} - \left(\dfrac{x(x + 5)}{x + 5} + \dfrac{1}{x + 5}\right) = \dfrac14\)
\(x + \dfrac{3}{x - 5} - \left(x + \dfrac{1}{x + 5}\right) = \dfrac14\)
\(\cancel x + \dfrac{3}{x - 5} - \cancel x - \dfrac{1}{x + 5} = \dfrac14\)
\(\dfrac{3}{x - 5} - \dfrac{1}{x + 5} = \dfrac14\) \(/\times4(x-5)(x+5)\)
\(12(x+5) -4(x - 5) = (x-5)(x+5)\)
\(12x + 60 - 4x +20 = x^2 - 25\)
\(8x + 80 = x^2 - 25 \)
\(8x + 80 - x^2 + 25 = 0 \)
\(-x^2 + 8x + 105 = 0\) \(/\times(-1)\)
\(x^2 - 8x - 105 = 0\)
\(D = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot(-105)=\)
\(=64 + 420 = 484 > 0 \) - 2 корня.
\(\sqrt {484} = 22\).
\(x_1 = \frac{8 + 22}{2\cdot1} = \frac{30}{2} = 15\).
\(x_2 = \frac{8 - 22}{2\cdot1} = \frac{-14}{2} = -7\).
Ответ: \(x = 15,\; x = -7\)
б) \(\dfrac{x^2 + 6x + 10}{x + 3} - \dfrac{x^2 - 6x + 7}{x - 3} = 7\dfrac18\)
ОДЗ:
\(x + 3 \ne 0, \Rightarrow x\neq -3;\)
\(x - 3 \ne 0, \Rightarrow x\neq 3.\)
\(\dfrac{(x^2 + 6x + 9) - 9+ 10}{x + 3} - \dfrac{(x^2 - 6x+9) -9 + 7}{x - 3} = 7\dfrac{1}{8}\)
\(\dfrac{(x+3)^2 + 1}{x + 3} - \dfrac{(x - 3)^2 - 2}{x - 3} = 7\dfrac{1}{8}\)
\(\dfrac{(x+3)^2}{x + 3} + \dfrac{1}{x + 3} - \left(\dfrac{(x - 3)^2}{x - 3} - \dfrac{2}{x - 3}\right) = 7\dfrac{1}{8}\)
\(x + 3 + \dfrac{1}{x + 3} - \left(x - 3 - \dfrac{2}{x - 3}\right) = 7\dfrac{1}{8}\)
\(\cancel x + 3 + \dfrac{1}{x + 3} - \cancel x + 3 + \dfrac{2}{x - 3}= 7\dfrac{1}{8}\)
\(\dfrac{1}{x + 3} + \dfrac{2}{x - 3} + 6 = 7\dfrac{1}{8}\)
\(\dfrac{1}{x + 3} + \dfrac{2}{x - 3} = 7\dfrac{1}{8} - 6\)
\(\dfrac{1}{x + 3} + \dfrac{2}{x - 3} = 1\dfrac{1}{8}\)
\(\dfrac{1}{x + 3} + \dfrac{2}{x - 3} = \dfrac{9}{8}\) \(/\times 8(x+3)(x-3)\)
\(8(x-3) + 16(x+3) = 9(x+3)(x-3)\)
\(8x - 24 + 16x + 48 = 9(x^2 - 9)\)
\(24x + 24 = 9x^2 - 81\)
\(24x + 24 - 9x^2 + 81 = 0\)
\(-9x^2 +24x + 105 = 0\) \(/ : (-3)\)
\(3x^2 - 8x - 35 = 0\)
\(D = (-8)^2 - 4\cdot3\cdot(-35) =\)
\(=64 + 420 = 484 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt {484} = 22.\)
\(x_1 = \frac{8 + 22}{2\cdot3} = \frac{30}{6} = 5.\)
\(x_2 = \frac{8 - 22}{2\cdot3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} = -2\frac13.\)
Ответ: \(x = 5,\; x = -2\dfrac{1}{3}\).
Пояснения:
Сначала выписываем область допустимых значений: знаменатели дробей не должны обращаться в ноль, поэтому в пункте а) исключаем \(x = \pm 5\), в пункте б) исключаем \(x = \pm 3\).
Выделение целой части из дроби.
Если делим многочлен второй степени на линейный, результат можно записать как \[ \frac{P_2(x)}{x - a} = q(x) + \frac{r}{x - a}, \] где \(q(x)\) — частное (целая часть), а \(r\) — остаток. После выделения целой части выражения сильно упрощаются: похожие целые части сокращаются, остаются только простые рациональные дроби. Дальше приводим их к общему знаменателю, получаем обычное рациональное уравнение, которое сводится к квадратному вида \(ax^2 + bx + c = 0\). Его решаем через дискриминант
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
Затем проверяем корни на принадлежность ОДЗ.
Вернуться к содержанию учебника