Упражнение 329 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x^2 - 5x + 3}{x - 5} - \dfrac{x^2 + 5x + 1}{x + 5} = \dfrac14\)

ОДЗ:

\(x - 5 \ne 0, \Rightarrow x\neq 5;\)

\(x + 5 \ne 0, \Rightarrow x\neq -5.\)

\(\dfrac{x(x - 5) + 3}{x - 5} - \dfrac{x(x + 5) + 1}{x + 5} = \dfrac14\)

\(\dfrac{x(x - 5)}{x - 5} + \dfrac{3}{x - 5} - \left(\dfrac{x(x + 5)}{x + 5} + \dfrac{1}{x + 5}\right) = \dfrac14\)

\(x + \dfrac{3}{x - 5} - \left(x + \dfrac{1}{x + 5}\right) = \dfrac14\)

\(\cancel x + \dfrac{3}{x - 5} - \cancel x - \dfrac{1}{x + 5} = \dfrac14\)

\(\dfrac{3}{x - 5} - \dfrac{1}{x + 5} = \dfrac14\) \(/\times4(x-5)(x+5)\)

\(12(x+5) -4(x - 5) = (x-5)(x+5)\)

\(12x + 60 - 4x +20 = x^2 - 25\)

\(8x + 80 = x^2 - 25 \)

\(8x + 80 - x^2 + 25 = 0 \)

\(-x^2 + 8x + 105 = 0\)  \(/\times(-1)\)

\(x^2 - 8x - 105 = 0\)

\(D = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot(-105)=\)

\(=64 + 420 = 484 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt {484} = 22\).

\(x_1 = \frac{8 + 22}{2\cdot1} = \frac{30}{2} = 15\).

\(x_2 = \frac{8 - 22}{2\cdot1} = \frac{-14}{2} = -7\).

Ответ: \(x = 15,\; x = -7\)

б) \(\dfrac{x^2 + 6x + 10}{x + 3} - \dfrac{x^2 - 6x + 7}{x - 3} = 7\dfrac18\)

ОДЗ:

\(x + 3 \ne 0, \Rightarrow x\neq -3;\)

\(x - 3 \ne 0, \Rightarrow x\neq 3.\)

\(\dfrac{(x^2 + 6x + 9) - 9+ 10}{x + 3} - \dfrac{(x^2 - 6x+9) -9 + 7}{x - 3} = 7\dfrac{1}{8}\)

\(\dfrac{(x+3)^2 + 1}{x + 3} - \dfrac{(x - 3)^2 - 2}{x - 3} = 7\dfrac{1}{8}\)

\(\dfrac{(x+3)^2}{x + 3} + \dfrac{1}{x + 3} - \left(\dfrac{(x - 3)^2}{x - 3} - \dfrac{2}{x - 3}\right) = 7\dfrac{1}{8}\)

\(x + 3 + \dfrac{1}{x + 3} - \left(x - 3 - \dfrac{2}{x - 3}\right) = 7\dfrac{1}{8}\)

\(\cancel x + 3 + \dfrac{1}{x + 3} - \cancel x + 3 + \dfrac{2}{x - 3}= 7\dfrac{1}{8}\)

\(\dfrac{1}{x + 3} + \dfrac{2}{x - 3} + 6 = 7\dfrac{1}{8}\)

\(\dfrac{1}{x + 3} + \dfrac{2}{x - 3} = 7\dfrac{1}{8} - 6\)

\(\dfrac{1}{x + 3} + \dfrac{2}{x - 3} = 1\dfrac{1}{8}\)

\(\dfrac{1}{x + 3} + \dfrac{2}{x - 3} = \dfrac{9}{8}\) \(/\times 8(x+3)(x-3)\)

\(8(x-3) + 16(x+3) = 9(x+3)(x-3)\)

\(8x - 24 + 16x + 48 = 9(x^2 - 9)\)

\(24x + 24 = 9x^2 - 81\)

\(24x + 24 - 9x^2 + 81 = 0\)

\(-9x^2 +24x + 105 = 0\)   \(/ : (-3)\)

\(3x^2 - 8x - 35 = 0\)

\(D = (-8)^2 - 4\cdot3\cdot(-35) =\)

\(=64 + 420 = 484 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {484} = 22.\)

\(x_1 = \frac{8 + 22}{2\cdot3} =  \frac{30}{6} = 5.\)

\(x_2 = \frac{8 - 22}{2\cdot3} =  \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} = -2\frac13.\)

Ответ: \(x = 5,\; x = -2\dfrac{1}{3}\).

Пояснения:

Сначала выписываем область допустимых значений: знаменатели дробей не должны обращаться в ноль, поэтому в пункте а) исключаем \(x = \pm 5\), в пункте б) исключаем \(x = \pm 3\).

Выделение целой части из дроби.

Если делим многочлен второй степени на линейный, результат можно записать как \[ \frac{P_2(x)}{x - a} = q(x) + \frac{r}{x - a}, \] где \(q(x)\) — частное (целая часть), а \(r\) — остаток. После выделения целой части выражения сильно упрощаются: похожие целые части сокращаются, остаются только простые рациональные дроби. Дальше приводим их к общему знаменателю, получаем обычное рациональное уравнение, которое сводится к квадратному вида \(ax^2 + bx + c = 0\). Его решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Затем проверяем корни на принадлежность ОДЗ.

а) \((x + 9)(x - 2)(x - 15) < 0\)

\((x + 9)(x - 2)(x - 15) = 0\)

или  \(x + 9 = 0\)

        \(x = -9\)

или  \(x - 2 = 0\)

        \(x = 2\)

или  \(x - 15 = 0\)

        \(x = 15\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -9) \cup (2; 15)\).

б) \(x(x - 5)(x + 6) > 0\)

\(x(x - 5)(x + 6) = 0\)

или  \(x = 0\)

или  \(x - 5 = 0\)

        \(x = 5\)

или  \(x + 6 = 0\)

        \(x = -6\)

Ответ: \(x \in (-6; 0) \cup (5; +\infty)\).

в) \((x - 1)(x - 4)(x - 8)(x - 16) < 0\)

\((x - 1)(x - 4)(x - 8)(x - 16) = 0\)

или  \(x - 1 = 0\)

        \(x = 1\)

или  \(x - 4 = 0\)

        \(x = 4\)

или  \(x - 8 = 0\)

        \(x = 8\)

или  \(x - 16 = 0\)

        \(x = 16\)

Ответ: \(x \in (1; 4) \cup (8; 16)\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.