Упражнение 331 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 106

\( \frac{1}{x^3 - x^2 + x - 1} + \frac{4x^2 + 21}{x^3 + x^2 + x + 1} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{x^4 - 1}\)

\( \frac{1}{x^2(x - 1) + (x - 1)} + \frac{4x^2 + 21}{x^2(x + 1) + (x + 1)} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}\)

\( \frac{1}{(x - 1) (x^2+ 1)} + \frac{4x^2 + 21}{(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{(x - 1)(x+1)(x^2 + 1)}\) \(/\times(x - 1)(x+1)(x^2 + 1)\)

ОДЗ:

\(x - 1 \ne 0, \Rightarrow x\neq 1;\)

\(x + 1 \ne 0, \Rightarrow x\neq -1.\)

\(x + 1 + (4x^2 + 21)(x - 1) = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4\)

\(x + 1 + 4x^3 + 21x - 4x^2 - 21 = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4\)

\(4x^3 - 4x^2 + 22x - 20 = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4\)

\(\cancel {4x^3} - 4x^2 + 22x - 20 - \cancel{4x^3} + 3x^2 - 14x + 4\)

\(-x^2 + 8x - 16 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2 - 8x + 16 = 0\)

\((x - 4)^2 = 0\)

\(x = 4\)

Ответ: \(x = 4\).

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

2) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Приемы разложения на множители:

• группировка слагаемые и вынесение общего множителя за скобки;

• разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

После преобразований получили квадратный трёхчлен, который можно представить как квадрат двучлена по формуле квадрата разности двух выражений: \[ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2. \]

Отсюда \[ (x - 4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4. \]

Проверяем, не попадает ли корень в запрещённые значения ОДЗ: \(4 \ne 1\) и \(4 \ne -1\), значит, он допустим.

Итак, уравнение имеет единственный корень: \[ x = 4. \]