Упражнение 300 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(10\, \% = 0,1\); 

\(20\, \% = 0,2\);

\(16\, \% = 0,16\).

Составим уравнение:

\[ 0{,}1(x - 1) + 0{,}2x = 0{,}16(2x - 1) \]

\[ 0{,}1x - 0{,}1 + 0{,}2x = 0{,}32x - 0{,}16 \]

\[ 0{,}3x - 0{,}1 = 0{,}32x - 0{,}16 \]

\(0,3x - 0,32x = -0,16 + 0,1\)

\(-0,02x = -0,06\)

\(x = \frac{-0,06}{-0,02}\)

\(x = \frac62\)

\(x = 3\)

1) \(3\) (л) - раствора было во 2 сосуде.

2) \(3 - 1 = 2\) (л) - раствора было в 1 сосуде.

Ответ: \(2\) л и \(3\) л.

Пояснения:

1. Формула количества растворённого вещества.

Если дан раствор объёмом \(V\) и концентрацией \(C\%\), то масса растворённого вещества равна:

\[ m = \frac{C}{100} \cdot V. \]

2. Главный принцип смешивания растворов.

Количество растворённого вещества при смешивании сохраняется:

\[ m_1 + m_2 = m_{\text{смеси}}. \]

И мы записали уравнение, считая соль в первом растворе, во втором и в смеси.

3. Получили линейное уравнение и нашли объёмы:

Первый сосуд — \(2\) л, второй сосуд — \(3\) л.

Пусть \(x\) - искомое число (\(x>0\)). Тогда обратное ему число равно \(\dfrac{1}{x}\). Известно, что сумма этих чисел в 13 раз меньше суммы их кубов.

Составим уравнение:

\( 13\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^{3} + \frac{1}{x^{3}}\)

Пусть \( x + \frac{1}{x}=t > 0 \), так как \(x > 0,\) тогда

\( \left(x + \frac{1}{x}\right)^3=t^3 \)

\( x^3+3x^{\cancel2}\cdot\frac{1}{\cancel x} + 3 \cancel x\cdot\frac{1}{x^{\cancel2}} + \frac{1}{x^3}=t^3 \)

\( x^3+3x + 3\cdot\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}=t^3 \)

\( x^3+3(x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x^3}=t^3 \)

\( x^3+3t + \frac{1}{x^3}=t^3 \)

\( x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = t^{3} - 3t. \)

\( 13t = t^{3} - 3t\)

\( t^{3} - 3t - 13t = 0\)

\(t^{3} - 16t = 0\)

\( t(t^{2} - 16) = 0\)

\( t(t- 4)(t + 4) = 0\)

или \( t = 0\) - не удовлетворяет условию,

или \(t - 4 = 0\)

       \(t = 4,\)

или \(t + 4 = 0\)

       \(t = -4\) - не удовлетворяет условию.

Если (t = 4\), то

\( x + \frac{1}{x} = 4\)   \(/\times x\):

\( x^{2} + 1 = 4x \)

\(x^{2} - 4x + 1 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = 1\)

\( D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-4)^{2} - 4\cdot1\cdot1 =\)

\(=16 - 4 = 12 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt{12} = \sqrt{4\cdot3} = 2\sqrt3.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}=\) 

\(= \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2\cdot1} = \frac{\cancel2(2 \pm \sqrt{3})}{\cancel2} = 2 \pm \sqrt{3}. \)

\( 2 + \sqrt{3} > 0,\)

\(2 - \sqrt{3} > 0. \)

Ответ: \( x = 2 + \sqrt{3}\) и \(x = 2 - \sqrt{3}. \)

Пояснения:

1. Мы сравниваем два выражения:

— сумму числа и числа, ему обратного: \(\;x + \dfrac{1}{x}\);

— сумму кубов этих чисел: \(\;x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}}\).

Условие «сумма в 13 раз меньше» переводится в равенство:

\(13\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^{3} + \frac{1}{x^{3}}. \)

2. Чтобы упростить уравнение, введена новая переменная \[ t = x + \frac{1}{x}. \] Тогда имеем формулу \[ x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = t^{3} - 3t, \] которая получается возведением в куб равенства \(t = x + \dfrac{1}{x}\) и приведением подобных членов.

3. После подстановки получаем уравнение \(t^{3} - 16t = 0\), которое раскладывается на множители вынесением общего множителя за скобки применением формулы разности квадратов: \[ t(t - 4)(t+4) = 0. \] Отсюда \(t = 0, 4, -4\). Анализируя смысл \(t = x + \dfrac{1}{x}\) при \(x > 0\) (эта сумма всегда положительна и не равна нулю), оставляем только \(t = 4\).

4. Возвращаясь к \(x\), решаем уравнение

\[ x + \frac{1}{x} = 4 \).

Домножив это уравнение на \(x\), получаем квадратное уравнение:

\[x^{2} - 4x + 1 = 0. \]

Решив уравнение через дискриминант получаем два положительных корня \(2 \pm \sqrt{3}\). Оба удовлетворяют и исходному равенству, и требованию «положительное число», поэтому в ответе записываем оба значения.