Вернуться к содержанию учебника
Из данных чисел \[ 1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 3,\ -3,\ 4,\ -4,\ 7,\ -7 \] выберите те, которые являются корнями уравнения \[ x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0. \] Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?
Вспомните:
\( x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0\)
Числа \(3,\ -3,\ 4,\ -4\) не являются корнями, так как они не являются делителями числа \(98\).
1) \(x=1\) - не является корнем.
\(1-1-51+49+98=0\)
\(96=0 \) - неверно.
2) \(x=-1\) - является корнем.
\(1+1-51-49+98=0\)
\(0=0\) - верно.
3) \(x=2\) - является корнем.
\(16-8-51\cdot4+49\cdot2+98 =0\)
\(16 - 8 - 204 + 98 + 98 = 0\)
\(0=0\) - верно.
4) \(x=-2\) - не является корнем.
\(16+8-51\cdot4-49\cdot2+98 =0\)
\(16 + 8-204-98+98=0\)
\(-180=0\) - неверно.
5) \(x=7\) - является корнем.
\(7^4-7^3-51\cdot7^2+49\cdot7+98 =0\)
\(2401-343-51\cdot49+343+98=0 \)
\( 2401-343-2499+343+98=0\)
\((2401-2499)+(-343+343)+98=0\)
\(-98+0+98=0\)
\(0=0\) - верно.
6) \(x=-7\) - является корнем.
\(2401+343-51\cdot49-49\cdot7+98 =0\)
\(2401+343-2499-343+98 =0\)
\(2744-2499-343+98 =0\)
\(245-343+98=0\)
\(-98+98=0\)
\(0 = 0 \) - верно.
Ответ: корнями уравнения являются:
\(-1;\quad 2;\quad 7;\quad -7. \)
Пояснения:
Если многочлен \[ x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 \] имеет целый корень \(x_0\), то подстановка \(x=x_0\) даёт делимость свободного члена на этот корень. Поэтому любой целый корень обязан быть делителем свободного члена \(98\). Это сразу исключает числа \(3,\ -3,\ 4,\ -4\)), так как 98 на них не делится нацело.
После отбора возможных корней (делителей 98) их просто подставляют в многочлен и считают значение. Если получается верное числовое равенство \(0 = 0\), то \(x_0\) — корень. Так нашли корни \(-1, 2, 7, -7\), а числа \(1\) и \(-2\) при подстановке ноль не дают и поэтому корнями не являются.
Многочлен четвёртой степени может иметь не более четырёх действительных корней. Мы нашли четыре различных корня из списка, значит других действительных корней у него нет.
Вернуться к содержанию учебника