Упражнение 298 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 98

а) \(\dfrac{5x + 4}{x} < 4 \)

\(\dfrac{5x + 4}{x} - 4 ^{\color{blue}{\backslash x}} < 0\)

\(\dfrac{5x + 4 - 4x}{x} < 0 \)

\(\dfrac{x + 4}{x} < 0\)

\((x+4)x < 0\)

\((x+4)x = 0\)

\(x + 4 = 0\)  или   \(x = 0\)

\(x = -4\)

Ответ: \(x \in (-4; 0)\).

б) \(\dfrac{6x + 1}{x + 1} > 1 \)

\(\dfrac{6x + 1}{x + 1} - 1 > 0 \)

\(\dfrac{6x + 1 - (x + 1)}{x + 1} > 0\)

\(\dfrac{6x + 1 - x - 1}{x + 1} > 0\)

\(\dfrac{5x}{x + 1} > 0 \)

\(5x(x+1) > 0\)   \( / :5\)

\(x(x+1) > 0\)

\(x(x+1) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(x + 1 = 0\)

                       \(x = -1\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)\).

в) \(\dfrac{x}{x - 1} \ge 2 \)

\(\dfrac{x}{x - 1} - 2 ^{\color{blue}{\backslash x-1}} \ge 0 \)

\(\dfrac{x - 2(x - 1)}{x - 1} \ge 0\)

\(\dfrac{x - 2x + 2}{x - 1} \ge 0 \)

\(\dfrac{-x + 2}{x - 1} \ge 0\)

\(\begin{cases} (-x + 2)(x-1) \ge 0, \\ x - 1 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (-x + 2)(x-1) \ge 0, \\ x \ne 1 \end{cases}\)

\((-x + 2)(x-1) \ge 0\)

\((-x + 2)(x-1) = 0\)

\(-x + 2 = 0\)   или   \(x - 1 = 0\)

\(x =2\)                       \(x = 1\)

Ответ: \(x \in (1; 2]\).

г) \(\dfrac{3x - 1}{x + 2} \ge 1 \)

\(\dfrac{3x - 1}{x + 2} - 1 ^{\color{blue}{\backslash x+2}} \ge 0 \)

\(\dfrac{3x - 1 - (x + 2)}{x + 2} \ge 0\)

\(\dfrac{3x - 1 - x - 2}{x + 2} \ge 0\)

\(\dfrac{2x - 3}{x + 2} \ge 0\)

\(\begin{cases} (2x - 3)(x + 2) \ge 0, \\ x + 2 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (2x - 3)(x + 2) \ge 0, \\ x \ne -2 \end{cases}\)

\((2x - 3)(x + 2) \ge 0\)

\((2x - 3)(x + 2) = 0\)

\(2x - 3 = 0\)   или   \(x + 2 = 0\)

\(2x = 3\)                    \(x = -2\)

\(x=\frac32\)

\(x = 1,5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup [1,5; +\infty)\).

Пояснения:

Во всех пунктах сначала переносим число из правой части в левую и приводим к общему знаменателю выражение в левой части.

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} < 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} > 0\) равносильны неравенствам \((x - a)(x-b) < 0\) и \((x - a)(x-b) > 0\) соответственно, которые решаем методом интервалов.

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} \le 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} \ge 0\) равносильны системам:

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \le 0, \\ x - b \ne 0;\end{cases}\) и

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \ge 0, \\ x - b \ne 0.\end{cases}\)

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Обратите внимание, значение \(x\), при котором знаменатель равен нулю, всегда обозначается "выколотой" (незакрашенной) точкой, независимо от знака неравенства, так как функция в этой точке не существует.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.