Упражнение 302 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 103

а) \(x^{3} - 4x^{2} + 3x + 2 = 0\)

\(\pm1; \pm2\) - делители числа 2.

Если \(x = 1\), то

\(1^{3} - 4\cdot1^{2} + 3\cdot1 + 2 = 0\)

\(1 - 4 + 3 + 2 = 0\)

\(2 = 0\) - неверно.

\(x = 1\) - не является корнем.

Если \(x = -1\), то

\((-1)^{3} - 4\cdot(-1)^{2} + 3\cdot(-1) + 2 = 0\)

\(-1 - 4 - 3 + 2 = 0\)

\(-6 = 0\) - неверно.

\(x = -1\) - не является корнем.

Если \(x = 2\), то

\(2^{3} - 4\cdot 2^{2} + 3\cdot 2 + 2 = 0\)

\(8 - 16 + 6 + 2 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(x = 2\) — корень.

\(x^{3} - 4x^{2} + 3x + 2 = (x - 2)(x^{2} - 2x - 1)\)

\((x - 2)(x^{2} - 2x - 1)=0\)

\(x^{2} - 2x - 1 = 0\)

\(D =b^2 - 4ac = \)

\(=(-2)^{2} - 4\cdot1\cdot(-1) =\)

\(=4 + 4 = 8 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt8 = \sqrt{4\cdot2} = 2\sqrt2\).

\(x_{1,2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}.\)

Ответ:  \( 2;\; 1 + \sqrt{2};\; 1 - \sqrt{2}.\)

б) \(x^{4} + 2x^{3} - 7x^{2} - 8x + 12 = 0\)

\(\pm1;\, \pm2; \pm3; \pm4; \pm6; \pm12\) - делители числа 12.

Если \(x = 1\), то

\(1^{4} + 2\cdot1^{3} - 7\cdot1^{2} - 8\cdot1 + 12 = 0\)

\(1 + 2 - 7 - 8 + 12 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(x = 1\) — корень.

\(x^{4} + 2x^{3} - 7x^{2} - 8x + 12 = (x - 1)(x^{3} + 3x^{2} - 4x - 12).\)

\((x - 1)(x^{3} + 3x^{2} - 4x - 12)=0\)

\(x^{3} + 3x^{2} - 4x - 12 = 0\)

\(x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0\)

\((x+3)(x^2 - 4) = 0\)

\((x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0\)

или \(x + 3 = 0, \Rightarrow x = -3\),

или \(x - 2 = 0, \Rightarrow x = 2\),

или \(x + 2 = 0, \Rightarrow x = -2\).

Ответ: \(1,\; 2,\; -2,\; -3.\)

Пояснения:

Если многочлен имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (последнего числового коэффициента). Поэтому для уравнений с целыми коэффициентами удобно проверять несколько простых значений \(x\) (например, \(\pm1, \pm2, \pm3,\dots\)). Найденное значение, при котором многочлен обращается в ноль, даёт линейный множитель \((x - x_0)\).

После нахождения корня \(x_0\) мы делим многочлен на \((x - x_0)\) (столбиком) и получаем многочлен меньшей степени. Процесс можно повторять, пока степень не станет 2, а затем решить квадратное уравнение стандартными способами (формула дискриминанта, разложение на множители).

Квадратное уравнение \(ax^{2} + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\[ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Еще при разложении на множители можно применить:

• способ группировки, то есть сгруппировать слагаемые так, чтобы у них был общий множитель, вынести его за скобки, в результате чего получится многочлен, который также можно вынести за скобки;

• формулу разности квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

Также при решении уравнений после разложения на множители используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть каждый множитель приравниваем к нулю, и решив полученные уравнения, находим корни уравнения.