Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№300 учебника 2023-2026 (стр. 98):
Два сосуда были наполнены растворами соли, причём в первом сосуде содержалось на 1 л меньше раствора, чем во втором. Концентрация раствора в первом сосуде составляла 10%, а во втором — 20%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация которого составила 16%. Сколько раствора было в каждом сосуде первоначально?
№300 учебника 2014-2022 (стр. 86):
Решите уравнение:
а) \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac12\!\left(x - \dfrac{1}{x}\right) = 3\dfrac12;\)
б) \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac13\!\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 8.\)
№300 учебника 2023-2026 (стр. 98):
Вспомните:
№300 учебника 2014-2022 (стр. 86):
Вспомните:
№300 учебника 2023-2026 (стр. 98):
\(10\, \% = 0,1\);
\(20\, \% = 0,2\);
\(16\, \% = 0,16\).
| Объем, л | Соль | |
| 1 сосуд | \(x - 1\) | \( 0{,}1(x - 1) \) |
| 2 сосуд | \(x\) | \(0{,}2x\) |
| 3 сосуд | \(2x - 1\) | \(0,16(2x - 1)\) |
Составим уравнение:
\[ 0{,}1(x - 1) + 0{,}2x = 0{,}16(2x - 1) \]
\[ 0{,}1x - 0{,}1 + 0{,}2x = 0{,}32x - 0{,}16 \]
\[ 0{,}3x - 0{,}1 = 0{,}32x - 0{,}16 \]
\(0,3x - 0,32x = -0,16 + 0,1\)
\(-0,02x = -0,06\)
\(x = \frac{-0,06}{-0,02}\)
\(x = \frac62\)
\(x = 3\)
1) \(3\) (л) - раствора было во 2 сосуде.
2) \(3 - 1 = 2\) (л) - раствора было в 1 сосуде.
Ответ: \(2\) л и \(3\) л.
Пояснения:
1. Формула количества растворённого вещества.
Если дан раствор объёмом \(V\) и концентрацией \(C\%\), то масса растворённого вещества равна:
\[ m = \frac{C}{100} \cdot V. \]
2. Главный принцип смешивания растворов.
Количество растворённого вещества при смешивании сохраняется:
\[ m_1 + m_2 = m_{\text{смеси}}. \]
И мы записали уравнение, считая соль в первом растворе, во втором и в смеси.
3. Получили линейное уравнение и нашли объёмы:
Первый сосуд — \(2\) л, второй сосуд — \(3\) л.
№300 учебника 2014-2022 (стр. 86):
а) \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac12\!\left(x - \dfrac{1}{x}\right) = 3\dfrac12\)
Пусть \( x - \frac{1}{x} = t, \quad x \ne 0,\) тогда
\(\left( x - \frac{1}{x}\right)^2 = t^2\)
\( x^{2} - 2\cdot \cancel x\cdot\frac{1}{\cancel x} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} \)
\( x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} \)
\(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} + 2 \)
\(t^{2} + 2 - \frac12 t = 3\dfrac12\)
\(t^{2} + 2 - \frac12 t = \dfrac72\) \(/\times 2\)
\( 2t^{2} + 4 - t = 7\)
\( 2t^{2} + 4 - t - 7=0\)
\(2t^{2} - t - 3 = 0\)
\(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -3\)
\(D= b^2 - 4ac =\)
\(=(-1)^{2} - 4\cdot2\cdot(-3) =\)
\(=1 + 24 = 25>0\) - 2 корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 5\).
\( t_{1} = \frac{1 + 5}{2\cdot2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5\).
\( t_{2} = \frac{1 - 5}{2\cdot2} = \frac{-4}{4} = -1\).
1) Если \(t = 1,5\), то
\( x - \frac{1}{x} = 1,5\) \(/\times 2x\)
\( 2x^2 - 2 = 3x\)
\(2x^{2} - 3x - 2 = 0\)
\(a = 2\), \(b = -3\), \(c = -2\)
\( D =(-3)^2 - 4\cdot2\cdot(-2)=\)
\(=9 + 16 = 25 > 0\) - 2 корня.
\(x_{1} = \frac{3 + 5}{2\cdot2} = \frac{8}{4} = 2\).
\(x_{2} = \frac{3 - 5}{2\cdot2} = \frac{-2}{4} = -\frac12\).
2) Если \(t = -1\), то
\( x - \frac{1}{x} = -1\) \(/\times x\)
\( x^2 - 1 = -x\)
\( x^{2} + x - 1 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -1\)
\( D =1:2 - 4\cdot1\cdot(-1)= \)
\(=1 + 4 = 5 > 0 \)- 2 корня.
\(\sqrt D = \sqrt5\).
\(x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}. \)
\(x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}. \)
Ответ: \(x = 2,\; -\dfrac12,\)
\(\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2},\; \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}.\)
б) \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac13\!\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 8\)
Пусть \( x + \frac{1}{x} = t, \quad x \ne 0,\) тогда
\(\left( x + \frac{1}{x}\right)^2 = t^2\)
\( x^{2} + 2\cdot \cancel x\cdot\frac{1}{\cancel x} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} \)
\( x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} \)
\(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2 \)
\( t^{2} - 2 - \frac13 t = 8\) \(/\times 3\)
\(3t^{2} - 6 - t = 24\)
\(3t^{2} - 6 - t - 24=0\)
\(3t^{2} - t - 30 = 0\)
\(a = 3\), \(b = -1\), \(c = -30\)
\(D= b^2 - 4ac =\)
\(=(-1)^{2} - 4\cdot3\cdot(-30) =\)
\(=1 + 360 = 361>0\) - 2 корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 19\).
\( t_{1} = \frac{1 + 19}{2\cdot3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \).
\( t_{2} = \frac{1 - 19}{2\cdot3} = \frac{-18}{6} = -3 \).
1) Если \(t = \frac{10}{3} \), то
\( x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \) \(/\times 3x\)
\(3x^2 +3 = 10x\)
\(3x^2 - 10x + 3 = 0\)
\(a = 3\), \(b = -10\), \(c = 3\)
\(D = (-10)^2 - 4\cdot3\cdot3=\)
\(=100 - 36 = 64 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt D = 8\).
\(x_{1} = \frac{10 + 8}{2\cdot3} =\frac{18}{6} = 3.\)
\(x_{2} = \frac{10 - 8}{2\cdot3} =\frac{2}{6} = \frac13. \)
2) Если \(t = -3\), то
\( x + \frac{1}{x} = -3 \) \(/\times x\)
\(x^2 + 1 = -3x\)
\(x^2 + 3x + 1 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 3\), \(c = 1\)
\(D = 3^2 - 4\cdot1\cdot1=\)
\(=9 - 4 = 5 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt D = \sqrt 5\).
\(x_{1} = \frac{-3 + \sqrt5}{2} .\)
\(x_{2} = \frac{-3 + \sqrt5}{2} .\)
Ответ: \(x = 3,\; \dfrac13,\; \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2},\)
\(\dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2}.\)
Пояснения:
1. В обоих уравнениях встречаются выражения \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) вместе с \(x \pm \dfrac{1}{x}\). Удобно ввести новую переменную:
- в пункте а): \(t = x - \frac{1}{x} \);
- в пункте б): \(t = x + \frac{1}{x}, \)
тогда квадратные выражения выражаются через неё по формулам:
\( (x - \tfrac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 + \tfrac{1}{x^{2}}, \)
\((x + \tfrac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \tfrac{1}{x^{2}}. \)
2. После подстановки получаем обычные квадратные уравнения по новой переменной \(t\). Решаем их через дискриминант, затем для каждого значения новой переменной решаем ещё одно квадратное уравнение относительно \(x\).
3. Условие \(x \ne 0\) важно, чтобы выражения \(\dfrac{1}{x}\) были определены. Все найденные корни удовлетворяют этому условию, поэтому все они входят в ответ.
Вернуться к содержанию учебника