Упражнение 298 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{5x + 4}{x} < 4 \)

\(\dfrac{5x + 4}{x} - 4 ^{\color{blue}{\backslash x}} < 0\)

\(\dfrac{5x + 4 - 4x}{x} < 0 \)

\(\dfrac{x + 4}{x} < 0\)

\((x+4)x < 0\)

\((x+4)x = 0\)

\(x + 4 = 0\)  или   \(x = 0\)

\(x = -4\)

Ответ: \(x \in (-4; 0)\).

б) \(\dfrac{6x + 1}{x + 1} > 1 \)

\(\dfrac{6x + 1}{x + 1} - 1 > 0 \)

\(\dfrac{6x + 1 - (x + 1)}{x + 1} > 0\)

\(\dfrac{6x + 1 - x - 1}{x + 1} > 0\)

\(\dfrac{5x}{x + 1} > 0 \)

\(5x(x+1) > 0\)   \( / :5\)

\(x(x+1) > 0\)

\(x(x+1) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(x + 1 = 0\)

                       \(x = -1\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)\).

в) \(\dfrac{x}{x - 1} \ge 2 \)

\(\dfrac{x}{x - 1} - 2 ^{\color{blue}{\backslash x-1}} \ge 0 \)

\(\dfrac{x - 2(x - 1)}{x - 1} \ge 0\)

\(\dfrac{x - 2x + 2}{x - 1} \ge 0 \)

\(\dfrac{-x + 2}{x - 1} \ge 0\)

\(\begin{cases} (-x + 2)(x-1) \ge 0, \\ x - 1 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (-x + 2)(x-1) \ge 0, \\ x \ne 1 \end{cases}\)

\((-x + 2)(x-1) \ge 0\)

\((-x + 2)(x-1) = 0\)

\(-x + 2 = 0\)   или   \(x - 1 = 0\)

\(x =2\)                       \(x = 1\)

Ответ: \(x \in (1; 2]\).

г) \(\dfrac{3x - 1}{x + 2} \ge 1 \)

\(\dfrac{3x - 1}{x + 2} - 1 ^{\color{blue}{\backslash x+2}} \ge 0 \)

\(\dfrac{3x - 1 - (x + 2)}{x + 2} \ge 0\)

\(\dfrac{3x - 1 - x - 2}{x + 2} \ge 0\)

\(\dfrac{2x - 3}{x + 2} \ge 0\)

\(\begin{cases} (2x - 3)(x + 2) \ge 0, \\ x + 2 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (2x - 3)(x + 2) \ge 0, \\ x \ne -2 \end{cases}\)

\((2x - 3)(x + 2) \ge 0\)

\((2x - 3)(x + 2) = 0\)

\(2x - 3 = 0\)   или   \(x + 2 = 0\)

\(2x = 3\)                    \(x = -2\)

\(x=\frac32\)

\(x = 1,5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -2) \cup [1,5; +\infty)\).

---

Пояснения:

Во всех пунктах сначала переносим число из правой части в левую и приводим к общему знаменателю выражение в левой части.

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} < 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} > 0\) равносильны неравенствам \((x - a)(x-b) < 0\) и \((x - a)(x-b) > 0\) соответственно, которые решаем методом интервалов.

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} \le 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} \ge 0\) равносильны системам:

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \le 0, \\ x - b \ne 0;\end{cases}\) и

\(\begin{cases} (x-a)(x-b) \ge 0, \\ x - b \ne 0.\end{cases}\)

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Обратите внимание, значение \(x\), при котором знаменатель равен нулю, всегда обозначается "выколотой" (незакрашенной) точкой, независимо от знака неравенства, так как функция в этой точке не существует.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^{2}+16\left(\frac{x-4}{x+2}\right)^{2}=17;\)

Пусть \(t=\frac{x+2}{x-4}\), тогда \(\frac{x-4}{x+2}=\frac{1}{t}\).

\(t^{2}+16\cdot\frac{1}{t^{2}}=17\)    \(/\times t^{2}\)

ОДЗ:  \(t\ne0\)

\[t^{4}-17t^{2}+16=0\]

Пусть \(t^{2}=y\).

\[y^{2}-17y+16=0\]

\(a = 1\),  \(b = -17\),  \(c = 16\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-17)^{2}-4\cdot1\cdot16=\)

\( = 289 - 64=225>0\) - 2 корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),     \(\sqrt D=15.\)

\(y_{1}=\dfrac{17+15}{2\cdot1}=\frac{32}{2} = 16.\)

\(y_{2}=\dfrac{17-15}{2\cdot1}=\frac{2}{2} = 1.\)

Если \(y = 16\), то \(t^{2}=16, \Rightarrow t=\pm4\)

Если \(y = 1\), то \(t^{2}=1, \Rightarrow t=\pm1\)

1) Если \(t = 4\), то

\(\dfrac{x+2}{x-4}=4\)  \(/\times (x-4)\)

\(x+2=4(x - 4)\)

\(x+2=4x-16\)

\(x - 4x = -16 - 2\)

\(-3x=-18\)

\(x = \frac{-18}{-3}\)

\(x=6.\)

2) Если \(t = -4\)

\(\dfrac{x+2}{x-4}=-4\)  \(/\times (x-4)\)

\(x+2=-4(x-4)\)

\(x+2=-4x+16\)

\(x + 4x = 16 - 2\)

\(5x=14\)

\(x=\dfrac{14}{5}\)

\(x = 2,8.\)

3) Если \(t = 1\), то

\(\dfrac{x+2}{x-4}=1\)   \(/\times (x-4)\)

\(x + 2 = x - 4\)

\(x - x = -4 - 2\)

\(2=-4\) — неверно, корней нет.

4) \(\dfrac{x+2}{x-4}=-1\)

\(\dfrac{x+2}{x-4}=-1\)   \(/\times (x-4)\)

\(x+2=-x+4\)

\(x + x = 4 - 2\)

\(2x=2\)

\(x = \frac22\)

\(x=1.\)

Ответ: \(x=6,\;x=2,8,\;x=1.\)

б) \(\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^{2}+18\left(\frac{x-3}{x+1}\right)^{2}=11\)

Пусть \(t=\frac{x+1}{x-3},\) тогда \(\frac{x-3}{x+1}=\frac{1}{t}\).

\(t^{2}+18\cdot\frac{1}{t^{2}}=11\)     \(/\times t^{2}\)

ОДЗ:  \(t\ne0\).

\[t^{4}-11t^{2}+18=0.\]

Пусть \(t^{2} = y\). Тогда

\(y^{2}-11y+18=0\)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 18\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=11^{2}-4\cdot1\cdot18=\)

\( =121 - 72=49>0\) - 2 корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),     \(\sqrt D=7.\)

\(y_{1}=\dfrac{11+7}{2\cdot1}=\frac{18}{2} = 9.\)

\(y_{2}=\dfrac{11-7}{2\cdot1}=\frac{4}{2} = 2.\)

Если \(y = 9\), то \(t^{2}=9,\Rightarrow t=\pm3\)

Если \(y = 2\), то \(t^{2}=2\Rightarrow t=\pm\sqrt2.\)

1) Если \(t = 3\), то

\(\dfrac{x+1}{x-3}=3\)   \(/\times (x-3)\)

\(x + 1 = 3(x-3)\)

\(x+1=3x-9\)

\(x - 3x = -9 - 1\)

\(-2x=-10\)

\(x = \frac{-10}{-2}\)

\(x=5.\)

2) Если \(t = -3\), то

\(\dfrac{x+1}{x-3}=-3\)   \(/\times (x-3)\)

\(x + 1 = -3(x - 3)\)

\(x+1=-3x+9\)

\(x + 3x = 9 - 1\)

\(4x=8\)

\(x = \frac84\)

\(x=2.\)

3) Если \(t = \sqrt2\), то

\(\dfrac{x+1}{x-3}=\sqrt2\)   \(/\times (x-3)\)

\(x+1=\sqrt2(x-3)\)

\(x+1=\sqrt2x-3\sqrt2\)

\(x-\sqrt2x=-3\sqrt2-1,\)

\(x(1-\sqrt2)=-3\sqrt2-1\)

\(x=\dfrac{-3\sqrt2-1}{1-\sqrt2} ^{\color{blue}{\backslash1+\sqrt2}}  \)

\(x=\dfrac{(-3\sqrt2-1)(1+\sqrt2)}{(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)}\)

\(x=\dfrac{-3\sqrt2-3\sqrt2\cdot\sqrt2-1 - \sqrt2}{1-(\sqrt2)^2}\)

\(x=\dfrac{-3\sqrt2-3\sqrt2\cdot\sqrt2-1 - \sqrt2}{1-2}\)

\(x=\dfrac{-4\sqrt2-7}{-1}\)

\(x=7+4\sqrt2.\)

4) Если \(t = -\sqrt2\), то

\(\dfrac{x+1}{x-3}=-\sqrt2\)   \(/\times (x-3)\)

\(x+1=-\sqrt2(x-3)\)

\(x + 1 = -\sqrt2x + 3\sqrt2\)

\(x+\sqrt2x=3\sqrt2-1\)

\(x(1+\sqrt2)=3\sqrt2-1\)

\(x=\dfrac{3\sqrt2-1}{1+\sqrt2} ^{\color{blue}{\backslash1-\sqrt2}}  \)

\(x=\dfrac{(3\sqrt2-1)(1-\sqrt2)}{(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)} \)

\(x=\dfrac{3\sqrt2-3\sqrt2\cdot\sqrt2-1+\sqrt2}{1-2} \)

\(x=\dfrac{4\sqrt2-7}{-1} \)

\(x=7-4\sqrt2.\)

Ответ: \(x=5,\;x=2,\)

\(x=7+4\sqrt2,\;x=7-4\sqrt2.\)

---

Пояснения:

1. В обоих уравнениях встречаются пары дробей вида \(\dfrac{x+a}{x+b}\) и \(\dfrac{x+b}{x+a}\), которые являются взаимно обратными. Поэтому удобно ввести новую переменную: \[ t=\frac{x+2}{x-4} \text{ или } t=\frac{x+1}{x-3}. \] Тогда вторая дробь превращается в \(\dfrac{1}{t}\), и уравнение содержит только \(t\) и \(\dfrac{1}{t}\). При этом не забываем об ОДЗ: знаменатели исходных дробей не должны равняться нулю.

2. После подстановки получаем уравнения вида \[ t^{2}+k\cdot\frac{1}{t^{2}}=m, \] которые сводим к биквадратным: \[ t^{4}-mt^{2}+k=0. \] Далее вводится замена \(y=t^{2}\) и через дискриминант решается обычное квадратное уравнение.

3. Для каждого найденного значения \(t\) решаем линейное дробно-рациональное уравнение относительно \(x\).

4. Все допустимые значения \(x\), полученные после обратной подстановки, и образуют множества корней уравнений в пунктах а) и б).