Упражнение 297 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x-8}{x+4} > 2\)

\( \dfrac{x-8}{x+4} - 2^{\color{blue}{\backslash x+4}} > 0\)

\(\dfrac{x-8-2(x+4)}{x+4} > 0\)

\(\dfrac{x-8-2x-8}{x+4} > 0\)

\(\dfrac{-x-16}{x+4} > 0\)

\(\begin{cases} (-x-16)(x+4) > 0, \\ x + 4 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (-x-16)(x+4) > 0, \\ x \ne -4 \end{cases}\)

\((-x-16)(x+4) > 0\)

\((-x-16)(x+4) = 0\)

\(-x - 16 = 0\)   или   \(x + 4 = 0\)

\(-x=16\)                   \(x=-4\)

\(x = -16\)

Ответ: \(x \in (-16; -4)\).

б) \(\dfrac{3-x}{x-2} < 1 \)

\(\dfrac{3-x}{x-2}-1 ^{\color{blue}{\backslash x-2}} < 0\)

\(\dfrac{3-x-(x-2)}{x-2} < 0 \)

\(\dfrac{3-x-x+2}{x-2} < 0 \)

\(\dfrac{5-2x}{x-2} < 0\)

\(\begin{cases} (5-2x)(x-2) < 0, \\ x - 2 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (5-2x)(x-2) < 0, \\ x \ne 2 \end{cases}\)

\((5-2x)(x-2) < 0\)

\((5-2x)(x-2) = 0\)

\(5 - 2x = 0\)   или   \(x - 2 = 0\)

\(2x = 5\)                   \(x = 2\)

\(x = \frac52\)

\(x= 2,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 2) \cup (2,5;+\infty)\).

в) \(\dfrac{7x-1}{x} > 5 \)

\(\dfrac{7x-1}{x} - 5 ^{\color{blue}{\backslash x}} > 0 \)

\(\dfrac{7x-1-5x}{x} > 0\)

\(\dfrac{2x-1}{x} > 0\)

\(\begin{cases} (2x-1)x > 0, \\ x \ne 0 \end{cases}\)

\((2x-1)x > 0\)

\((2x-1)x = 0\)

\(2x - 1 = 0\)   или   \(x = 0\)

\(2x = 1\)

\(x = \frac12\)

\(x = 0,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 0) \cup (0,5;+\infty)\).

г) \(\dfrac{6-2x}{x+4} > 3 \)

\(\dfrac{6-2x}{x+4} - 3 ^{\color{blue}{\backslash x+4}} > 0 \)

\(\dfrac{6-2x-3(x+4)}{x+4} > 0\)

\(\dfrac{6-2x-3x-12}{x+4} > 0 \)

\(\dfrac{-5x-6}{x+4} > 0\)

\(\begin{cases} (-5x-6)(x+4) > 0, \\ x + 4 \ne 0 \end{cases}\)

\((-5x-6)(x+4) > 0\)

\((-5x-6)(x+4) = 0\)

\(-5x - 6 = 0\)   или   \(x + 4 = 0\)

\(-5x = 6\)                   \(x = -4\)

\(x = \frac{6}{-5}\)

\(x = -1,2\)

Ответ: \(x \in (-4; -1,2)\).

Пояснения:

Во всех пунктах сначала переносим число из правой части в левую и приводим к общему знаменателю выражение в левой части.

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} < 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} > 0\) равносильны неравенствам \((x - a)(x-b) < 0\) и \((x - a)(x-b) > 0\) соответственно, которые решаем методом интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(\dfrac{12}{x^{2}-2x+3}=x^{2}-2x-1\)

Пусть \(x^{2}-2x=t\).

\(\dfrac{12}{t+3}=t-1\)   \(/\times (t+3)\)

\(12=(t-1)(t+3)\)

\(12=t^{2}+2t-3.\)

\(t^{2}+2t-3-12=0\)

\(t^{2}+2t-15=0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -15\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=2^{2}-4\cdot1\cdot(-15)=\)

\(=4 + 60=64 >0\) - 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),     \(\sqrt D=8.\)

\(t_{1}=\dfrac{-2+8}{2\cdot1}=\frac{6}{2} = 3.\)

\(t_{2}=\dfrac{-2-8}{2\cdot1}=\frac{-10}{2} = -5.\)

1) Если \(t=3\), то

\(x^{2}-2x=3\)

\(x^{2}-2x-3=0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -3\)

\(D=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3)=\)

\(=4+12=16 > 0\) - 2 корня.

\(x_1=\dfrac{2+4}{2\cdot1}=\dfrac{6}{2}=3.\)

\(x_2=\dfrac{2-4}{2\cdot1}=\dfrac{-2}{2}=-1.\)

2) Если \(t=-5\), то

\(x^{2}-2x=-5\)

\(x^{2}-2x+5=0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = 5\)

\(D=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot5 =\)

\(=4-20=-16 < 0\) — корней нет.

Ответ: \(x=3,\; x=-1.\)

б) \(\dfrac{12}{x^{2}+x-10}-\dfrac{6}{x^{2}+x-6}=\dfrac{5}{x^{2}+x-11}\)

Пусть \(x^{2}+x=t\).

\(\dfrac{12}{t-10} ^{\color{blue}{\backslash (t-6)(t-11)}} -\dfrac{6}{t-6} ^{\color{blue}{\backslash (t-10)(t-11)}} =\dfrac{5}{t-11} ^{\color{blue}{\backslash (t-10)(t-6)}} \) \(/\times(t-10)(t-6)(t-11)\)

ОДЗ:

\(t-10\ne0\) и \(t-6\ne0\) и \(t - 11 \ne 0\)

\(t\ne10\)           \(t\ne6\)            \(t \ne 11\)

\(12(t-6)(t-11)-6(t-10)(t-11) = 5(t-10)(t-6)\)

\(12(t^2 -11t-6t+66) - 6(t^2-11t-10t+110) = 5(t^2-6t-10t+60)\)

\(12(t^2 -17t+66) - 6(t^2-21t+110) = 5(t^2-16t+60)\)

\(12t^2 -204t+792 - 6t^2+126t-660 = 5t^2-80t+300\)

\(6t^2 - 78t+132 = 5t^2-80t+300\)

\(6t^2 - 78t+132 - 5t^2+80t-300=0\)

\( t^{2}+2t-168=0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -168\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=2^{2}-4\cdot1\cdot(-168)=\)

\(=4 + 674 = 676 > 0\) - 2 корня.

\(t_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D=26.\)

\(t_{1}=\dfrac{-2+26}{2\cdot1}=\dfrac{24}{2}=12.\)

\(t_{2}=\dfrac{-2-26}{2\cdot1}=\dfrac{-28}{2}=-14.\)

1) Если \(t=12\), то

\(x^{2}+x=12\)

\(x^{2}+x-12=0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -12\)

\(D=1^2 - 4\cdot1\cdot12 =\)

\(=1+48=49>0\) - 2 корня.

\(\sqrt D = 7\).

\(x_1=\dfrac{-1+7}{2\cdot1}= \dfrac{6}{2}=3.\)

\(x_2=\dfrac{-1-7}{2\cdot1}= \dfrac{-8}{2}=-4.\)

2) Если \(t=-14\), то

\(x^{2}+x=-14\)

\(x^{2}+x+14=0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c =14\)

\(D=1^2 - 4\cdot1\cdot14=\)

\(=1-56=-55 <0\) — корней нет.

Ответ: \(x=3,\; x=-4.\)

в) \(\dfrac{16}{x^{2}-2x}-\dfrac{11}{x^{2}-2x+3}=\dfrac{9}{x^{2}-2x+1}\)

Пусть \(x^{2}-2x=t\).

\(\dfrac{16}{t} ^{\color{blue}{\backslash (t+3)(t+1)}} -\dfrac{11}{t+3} ^{\color{blue}{\backslash t(t+1)}} =\dfrac{9}{t+1} ^{\color{blue}{\backslash t(t+3)}} \)  \(/\times t(t+3)(t+1)\)

ОДЗ:

\(t\ne0\) и \(t+3\ne0\) и \(t +1 \ne 0\)

             \(t\ne-3\)         \(t \ne -1\)

\(16(t+3)(t+1) - 11t(t+1)=9t(t+3)\)

\(16(t^2 + t + 3t + 3) -11t^2 - 11t = 9t^2 + 27t\)

\(16(t^2 +4t + 3) -11t^2 - 11t - 9t^2 - 27t = 0\)

\(16t^2 + 64t + 48 - 20t^2 -38t = 0\)

\(-4t^2 +26t + 48 = 0\)   \(/:(-2)\)

\(2t^2 - 13t -24 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -13\),  \(c = -24\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-13)^{2}-4\cdot2\cdot(-24)=\)

\(=169 + 192 = 361 > 0\) - 2 корня.

\(t_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D=19.\)

\(t_{1}=\dfrac{13+19}{2\cdot2}=\dfrac{32}{4}=8.\)

\(t_{2}=\dfrac{13-19}{2\cdot2}=\dfrac{-6}{4}=-\dfrac{3}{2}=-1,5.\)

1) Если \(t=8\), то

\(x^{2}-2x=8\)

\(x^{2}-2x-8=0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -8\)

\(D=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-8)=\)

\(=4+32=36>0\) - 2 корня.

\(\sqrt D = 6\).

\(x_1=\dfrac{2+6}{2\cdot1}= \dfrac{8}{2}= 4.\)

\(x_2=\dfrac{2-6}{2\cdot1}= \dfrac{-4}{2}= -2.\)

2) Если \(t=-1,5\), то

\(x^{2}-2x=-1,5\)

\(x^{2}-2x+1,5=0\)   \(/\times 2\)

\(2x^{2}-4x+3=0\)

\(a = 2\),  \(b = -4\),  \(c = 3\)

\(D=(-4)^2 - 4\cdot2\cdot3 =\)

\(=16-24=-8\) — корней нет.

Ответ: \(x=4,\; x=-2.\)

Пояснения:

1. Во всех трёх уравнениях одинаковые квадратные выражения встречаются в нескольких знаменателях. Поэтому удобно ввести новую переменную:

для (а) \(t=x^{2}-2x\);

для (б) \(t=x^{2}+x\);

для (в) \(t=x^{2}-2x\).

2. После такой замены уравнение становится рациональным уравнением с одной переменной \(t\), с простыми линейными знаменателями. Далее: приводим к общему знаменателю, сокращаем, умножаем на общий знаменатель и получаем обычное квадратное уравнение по новой переменной.

3. Решаем квадратные уравнения через дискриминант. Затем возвращаемся к исходной переменной \(x\), получая снова квадратные уравнения и их корни. Если дискриминант отрицательный, то уравнения не имеют действительных корней.