Упражнение 854 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \begin{cases} x^3+x^3y^3+y^3=12,\\ x+xy+y=0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^3+(xy)^3+y^3=12,\\ xy=-x-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^3+(-x-y)^3+y^3=12,\\ xy=-x-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^3-(x+y)^3+y^3=12,\\ xy=-x-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^3-(x^3+3x^2y +3xy^2+y^3)+y^3=12,\\ xy=-x-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} \cancel{x^3}-\cancel{x^3}-3x^2y -3xy^2-\cancel{y^3}+\cancel{y^3}=12,\\ xy=-x-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} -3x^2y -3xy^2=12,   / : (-3) \\ xy=-x-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2y + xy^2=-4, \\ xy=-x-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} xy(x + y)=-4, \\ xy=-x-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} (-x-y)(x + y)=-4, \\ xy=-x-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} -(x+y)(x + y)=-4,  /\times(-1) \\ xy=-x-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} (x + y)^2=4, \\ xy=-x-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y=\pm\sqrt4, \\ xy=-x-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y=\pm2, \\ xy=-x-y \end{cases} \)

1) \( \begin{cases} x + y=2, \\ xy=-x-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y=2, \\ xy=-(x+y) \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + y=2, \\ xy=-2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=2 - x, \\ x(2 - x)=-2 \end{cases} \)

\(x(2 - x)=-2 \)

\(2x - x^2 + 2 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2 -2x -2 = 0\)

\(a= 1\),  \(b = -2\),  \(c = -2\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = \)

\(= 4 + 8 = 12 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

\(\sqrt {12} = \sqrt {4\cdot 3} = 2\sqrt3\).

\(x_1 = \frac{2 + 2\sqrt3}{2\cdot1} = \frac{\cancel2(1 + \sqrt3)}{\cancel2} = \)

\(=1 + \sqrt3\).

\(x_2 = \frac{2 - 2\sqrt3}{2\cdot1} = \frac{\cancel2(1 - \sqrt3)}{\cancel2} = \)

\(=1 - \sqrt3\).

Если \(x = 1 + \sqrt3\), то

\(y = 2 - (1 + \sqrt3) = 2 - 1 - \sqrt3 =\)

\(= 1 - \sqrt3\).

Если \(x = 1 - \sqrt3\), то

\(y = 2 - (1 - \sqrt3) = 2 - 1 + \sqrt3 =\)

\(= 1 + \sqrt3\).

2) \( \begin{cases} x + y=-2, \\ xy=-x-y \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=-2-x, \\ x(-2-x)=-x-(-2 - x) \end{cases} \)

\(x(-2-x)=-x-(-2 - x)\)

\(-2x - x^2 = -x + 2 +x\)

\(-2x - x^2 + x - 2 - x = 0\)

\(-x^2 - 2x - 2 = 0\)    \(/\times (-1)\)

\(x^2 + 2x + 2 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),   \(c = 2\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(= 2^2 - 4\cdot1\cdot2 =\)

\(=4 - 8 = -4 < 0\) - не имеет действительных корней.

Ответ: \( (1+\sqrt3;\,1-\sqrt3),\)

\((1-\sqrt3;\,1+\sqrt3) \).

Пояснения:

Систему решаем методом подстановки. Выполнив преобразования, выражаем из одного уравнения какую-либо переменную и подставляем в другое, получая уравнение с одной переменной.

Используем в преобразованиях формулу куб суммы:

\((x+y)^3 = x^3+3x^2y +3xy^2+y^3\).

Квадратное уравнение

\(y = ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

Неполное квадратное уравнение

\(x^2 = a\), где \(a > 0\), имеет корни

\(x_{1,2} = \pm \sqrt a\).

Свойство арифметического квадратного корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b\).

\(A_n^4 : A_{n-2}^3 =14 \)

\(\frac{n!}{(n-4)!} : \frac{(n-2)!}{(n-2-3)!} = 14\)

\(\frac{n!}{(n-4)!} : \frac{(n-2)!}{(n-5)!} = 14\)

\(\frac{n!}{(n-4)!} \cdot \frac{(n-5)!}{(n-2)!} = 14\)

\(\frac{n(n-1)\cancel{(n-2)!}}{(n-4)\cancel{(n-5)!}} \cdot \frac{\cancel{(n-5)!}}{\cancel{(n-2)!}} = 14\)

\(\frac{n(n-1)}{(n-4)} = 14\)   \(/\times (n-4)\)

\(n(n-1) = 14(n-4)\)

\(n^2 - n = 14n - 56\)

\(n^2 - n - 14n + 56 = 0\)

\(n^2 - 15n + 56 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -15\),  \(c = 56\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-15)^2 - 4\cdot1\cdot56 =\)

\(=225 - 224 = 1 > 0\) - два действительных корня.

\(n_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{1} = 1\)

\(n_1 =\frac{15 + 1}{2\cdot1} = \frac{16}{2} = 8\).

\(n_2 =\frac{15 - 1}{2\cdot1} = \frac{14}{2} = 7\).

Ответ: \(n=7\) или \(n=8\)

Пояснения:

Используем формулу размещений:

\[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \]

Для размещений из \(n\) элементов по 4:

\[ A_n^4 = \frac{n!}{(n-4)!} \]

Для размещений \(n-2\) элементов по 3:

\[ A_{n-2}^3 = \frac{n!}{(n-2 - 3)!} \]

По условию число размещений из \(n\) элементов по четыре в 14 раз больше числа размещений из \(n-2\) элементов по три:

\(A_n^4 : A_{n-2}^3 = 14\)

Подставляем формулы, выполняем преобразования и получаем квадратное уравнение:

\(n^2 - 15n + 56 = 0\),

которое решаем через дискриминант и находим два корня: \(n = 8\) и \(n = 7\). Каждый из корней удовлетворяет условию.