Упражнение 851 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} (x+y)(8-x)=10,\\ (x+y)(y+5)=20 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x+y=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] x+y=\dfrac{20}{y+5} \end{cases} \)

\(\begin{cases} x+y=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] \dfrac{10}{8-x}=\dfrac{20}{y+5} \end{cases} \)

\(x \neq 8\),     \(y \neq -5\)

\(\begin{cases} x+y=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] 10(y+5)=20(8-x) \end{cases} \)

\(\begin{cases} x+y=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] 10y+50=160-20x \end{cases} \)

\(\begin{cases} x+y=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] 10y=160-20x - 50 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x+y=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] 10y=110-20x   / : 10\end{cases} \)

\(\begin{cases} x+y=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] y=11-2x\end{cases} \)

\(\begin{cases} x+(11-2x)=\dfrac{10}{8-x},\\[8pt] y=11-2x\end{cases} \)

\(x+(11-2x)=\dfrac{10}{8-x}\)

\(x + 11 - 2x = \dfrac{10}{8-x}\)

\(11-x = \dfrac{10}{8-x}\)    \(/\times (8-x)\)

\((11-x)(8-x) = 10\)

\(88 - 11x - 8x + x^2 = 10\)

\(x^2 -19x + 88 - 10 = 0\)

\(x^2 -19x + 78 = 0\) 

\(a = 1\),  \(b = -19\),  \(c = 78\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-19)^2 - 4\cdot1\cdot78 =\)

\(=361-312=49 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt {49} = 7\)

\(x_1=\dfrac{19+7}{2\cdot1} = \dfrac{26}{2} = 13\)

\(x_2=\dfrac{19-7}{2\cdot1} = \dfrac{12}{2} = 6\)

Если \(x=13\), то

\(y=11-2\cdot13 = 11-26=-15\)

Если \(x=6\), то

\(y=11-2\cdot6=11-12=-1\)

Ответ: \((13;-15)\),  \((6;-1)\).

Пояснения:

В обеих частях системы встречается выражение \(x+y\). Поэтому при решении систем используем метод подстановки. Сначала, выразив сумму \(x+y\), а затем переменную \(y\), получили квадратное уравнение относительно \(x\). Решив уравнение, нашли \(x\), а затем, вернувшись в подстановку, нашли \(y\).

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx +c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

\(0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5\)

а) \(0+1+5=6\):

\(105; \, 150; \, 501; \, 510\) - 4 числа.

\(0+2+4=6\):

\(204; \, 240; \, 402; \, 420\) - 4 числа.

\(1+2+3=6\):

\(123; \, 132; \, 213; \, 231; \, 312; \, 321\) - 6 чисел.

\(4+4+6=14\) - всего чисел.

Ответ: \(14\) чисел.

б) \(0+4+5=9 \)

\(405; \, 450; \, 504; \, 540\) - 4 числа.

\(1+3+5=9\):

\(135; \, 153; \, 315; \, 351; \, 513; \, 531\) - 6 чисел.

\(2+3+4=9 \):

\(234; \,243; \, 324; \, 342; \, 423; \, 432\) - 6 чисел.

\(4+6+6=16\) - всего чисел.

Ответ: \(16\) чисел.

Пояснения:

Используем два правила.

Первое правило: число должно быть трёхзначным, значит первая цифра не может быть равна \(0\).

Второе правило: цифры не должны повторяться, значит в одном числе нельзя использовать одинаковые цифры дважды.

Для каждого пункта сначала находим все наборы из трёх различных цифр, сумма которых равна нужному числу, а затем считаем, сколько трёхзначных чисел можно из них составить.

Если среди трёх цифр нет нуля, то число перестановок равно:

\[ 3! = 6 \]

Если среди цифр есть \(0\), то всего перестановок было бы \(3! = 6\), но две из них начинаются с нуля и не являются трёхзначными числами. Поэтому остаётся:

\[ 6-2=4 \]

а) Сумма цифр равна \(6\).

Подходящие наборы различных цифр:

\[ 0,1,5 \]

\[ 0,2,4 \]

\[ 1,2,3 \]

Для набора \(0,1,5\) получаем 4 трёхзначных числа:

\[ 105,\;150,\;501,\;510 \]

Для набора \(0,2,4\) тоже 4 числа:

\[ 204,\;240,\;402,\;420 \]

Для набора \(1,2,3\) нуля нет, значит 6 чисел:

\[ 123,\;132,\;213,\;231,\;312,\;321 \]

Итак, всего:

\[ 4+4+6=14 \]

б) Сумма цифр равна \(9\).

Подходящие наборы различных цифр:

\[ 0,4,5 \]

\[ 1,3,5 \]

\[ 2,3,4 \]

Для набора \(0,4,5\) получаем 4 трёхзначных числа:

\[ 405,\;450,\;504,\;540 \]

Для набора \(1,3,5\) нуля нет, значит 6 чисел:

\(135; \, 153; \, 315; \, 351; \, 513; \, 531\).

Для набора \(2,3,4\) тоже 6 чисел:

\(234; \,243; \, 324; \, 342; \, 423; \, 432\).

Итак, всего:

\[ 4+6+6=16 \]