Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№857 учебника 2023-2026 (стр. 210):
Решите систему уравнений
\[ \begin{cases} \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=3,\\ xy=8. \end{cases} \]
№857 учебника 2014-2022 (стр. 218):
На столе лежат 28 костей домино. Из них наугад берут одну кость.
а) Найдите вероятность того, что взятая кость в сумме содержит 6 очков.
б) Докажите, что вероятность взять кость, у которой сумма очков равна 5, равна вероятности взять кость, у которой сумма очков равна 4.
№857 учебника 2023-2026 (стр. 210):
Вспомните:
№857 учебника 2014-2022 (стр. 218):
Вспомните:
№857 учебника 2023-2026 (стр. 210):
\[ \begin{cases} \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=3,\\ xy=8 \end{cases} \]
Пусть \( a=\sqrt[3]{x}, \quad b=\sqrt[3]{y} \):
\[ \begin{cases} a + b=3,\\ (ab)^3=8 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} a + b=3,\\ ab=2 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} b=3 - a,\\ a(3-a)=2 \end{cases} \]
\(a(3-a)=2\)
\(3a - a^2 - 2 = 0\) \(/\times(-1)\)
\(a^2 -3a+2 = 0\)
\(D = (-3)^2 - 4\cdot 1\cdot2 = \)
\(=9 -8 = 1 > 0\) - два действительных корня.
\(\sqrt 1 = 1\)
\(a_1= \frac{3 + 1}{2\cdot1} = \frac42=2\).
\(a_2= \frac{3 - 1}{2\cdot1} = \frac22=1\).
1) Если \(a = 2\), то
\(b = 3 - 2 = 1\).
\( \sqrt[3]{x} = 2 \Rightarrow \) \(x = 8\).
\(\sqrt[3]{y} = 1 \Rightarrow \) \(y = 1\)
Если \(a = 1\), то
\(b = 3 - 1 = 2\).
\( \sqrt[3]{x} = 1 \Rightarrow \) \(x = 1\).
\(\sqrt[3]{y} = 2 \Rightarrow \) \(y = 8\)
Ответ: \( (1,8),\quad (8,1) \).
Пояснения:
В системе присутствуют кубические корни \(\sqrt[3]{x}\) и \(\sqrt[3]{y}\). Чтобы упростить выражения, вводится новая переменная:
\[ a=\sqrt[3]{x}, \qquad b=\sqrt[3]{y}. \]
Тогда исходные переменные выражаются так:
\[ x=a^3,\qquad y=b^3. \]
Первое уравнение системы сразу принимает простой вид:
\[ a+b=3. \]
Второе уравнение преобразуется следующим образом. Подставляем \(x=a^3\) и \(y=b^3\):
\[ xy=a^3b^3. \]
Используется свойство степеней:
\[ a^3b^3=(ab)^3. \]
Поэтому получаем:
\[ (ab)^3=8. \]
Кубический корень из \(8\) равен \(2\), поэтому:
\[ ab=2. \]
Таким образом система сводится к двум условиям:
\[ a+b=3, \qquad ab=2. \]
Далее решаем систему методом подстановки. Из перового уравнения выражаем переменную \(b\) через переменную \(a\), подставляем во второе уравнение и получаем квадратное уравнение с одной переменной.
Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\)
решаем через дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
\[ t^2-(a+b)t+ab=0. \]
Решив систему, находим числа \(a\) и \(b\).
После этого возвращаемся к исходным переменным, возводя значения в третью степень:
\[ x=a^3,\qquad y=b^3. \]
В результате получаем две пары решений системы.
№857 учебника 2014-2022 (стр. 218):
а) \(n = 28\)
Сумма \(6\):
\((0,6),(1,5),(2,4),(3,3)\)
\(m = 4\)
\(P=\frac{m}{n}=\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7}\)
б) \(n = 28\)
1) Сумма \(5\):
\((0,5),(1,4),(2,3)\)
\(m = 3\)
\(P=\frac{m}{n}=\dfrac{3}{28}\).
2) Сумма \(4\):
\((0,4),(1,3),(2,2)\)
\(m = 3\)
\(P=\frac{m}{n}=\dfrac{3}{28}\)
Пояснения:
В стандартном наборе домино используются числа от 0 до 6. Все возможные кости — это пары \((a,b)\), где \(0 \le a \le b \le 6\). Всего таких костей:
\[ 28 \]
Вероятность события:
\[ P=\dfrac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} \]
а) Ищем кости, у которых сумма точек равна 6:
\(0+6=6\)
\(1+5=6\)
\(2+4=6\)
\(3+3=6\)
Всего 4 кости, значит:
\[ P=\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7} \]
б) Для суммы 5:
\(0+5=5\)
\(1+4=5\)
\(2+3=5\)
Всего 3 кости.
Для суммы 4:
\(0+4=4\)
\(1+3=4\)
\(2+2=4\)
Тоже 3 кости.
Так как число благоприятных исходов одинаково, вероятности равны:
\[ \dfrac{3}{28} = \dfrac{3}{28} \]
Следовательно, вероятности совпадают.
Вернуться к содержанию учебника