Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№856 учебника 2023-2026 (стр. 210):
Решите уравнение
\[ (x^2+x)^4-1=0. \]
№856 учебника 2014-2022 (стр. 218):
Для натуральных чисел от 1 до 99 включительно найдите частоту появления простых чисел в первом десятке, втором десятке, третьем десятке и т. д. Сравните относительные частоты для:
а) первого и третьего десятков;
б) второго и десятого десятков;
в) четвёртого и пятого десятков.
№856 учебника 2023-2026 (стр. 210):
Вспомните:
№856 учебника 2014-2022 (стр. 218):
Вспомните:
№856 учебника 2023-2026 (стр. 210):
\[ (x^2+x)^4-1=0 \]
\[ (x^2+x)^4=1 \]
\[ x^2+x=\pm1 \]
1) \( x^2+x=1 \)
\[ x^2+x-1=0 \]
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -1\)
\( D=b^2-4ac=\)
\(=1^2-4\cdot1\cdot(-1)=\)
\(=1+4=5 > 0 \) - два действительных корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\)
\[ x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2} \]
2) \( x^2+x=-1 \)
\[ x^2+x+1=0 \]
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 1\)
\( D=1^2-4\cdot1\cdot1=\)
\(=1-4=-3 < 0\) - нет действительных корней.
Ответ: \( x_1=\frac{-1+\sqrt5}{2},\)
\(x_2=\frac{-1-\sqrt5}{2}. \)
Пояснения:
В уравнении присутствует выражение \(x^2+x\), возведённое в четвёртую степень. Переносим \((-1)\) вправо с противоположным знаком и, учитывая то, что отрицательное число в четной степени всегда положительное число, получаем два уравнения:
\( x^2+x-1=0 \) и \( x^2+x+1=0 \).
Квадратное уравнение
\(ax^2 + bx + c = 0\)
решаем через дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.
№856 учебника 2014-2022 (стр. 218):
1 десяток:
\(2,3,5,7\) - 4 простых числа.
Относительная частота:
\(\frac{4}{10} = 0,4\)
2 десяток:
\(11, 13, 17, 19\) - 4 простых числа.
Относительная частота:
\(\frac{4}{10} = 0,4\)
3 десяток:
\(23,29\) - 2 простых числа.
Относительная частота:
\(\frac{2}{10} = 0,2\)
4 десяток:
\(31, 37\) - 2 простых числа.
Относительная частота:
\(\frac{2}{10} = 0,2\)
5 десяток:
\(41, 43, 47\) - 3 простых числа.
Относительная частота:
\(\frac{3}{10} = 0,3\)
6 десяток:
\(53, 59\) - 2 простых числа.
Относительная частота:
\(\frac{2}{10} = 0,2\)
7 десяток:
\(61, 67\) - 2 простых числа.
Относительная частота:
\(\frac{2}{10} = 0,2\)
8 десяток:
\(71, 73, 79\) - 3 простых числа.
Относительная частота:
\(\frac{3}{10} = 0,3\)
9 десяток:
\(83, 89\) - 2 простых числа.
Относительная частота:
\(\frac{2}{10} = 0,2\)
10 десяток:
\(97\) - 1 простое число.
Относительная частота:
\(\frac{1}{10} = 0,2\)
а) \( 0,4 > 0,2\)
б) \(0,4 > 0,1\)
в) \(0,2 < 0,3\)
Пояснения:
Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые делятся только на 1 и на себя.
Частота — это отношение количества благоприятных исходов к общему числу элементов:
\[ \text{частота} = \dfrac{\text{число простых чисел}}{\text{общее количество чисел}} \]
Вернуться к содержанию учебника