Упражнение 855 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ (x+3)^4+(x+5)^4=4 \]

Пусть \( x+4=t \), тогда

\( x+3=t-1 \),

\( x+5=t+1 \).

\[ (t-1)^4+(t+1)^4=4 \]

\[ ((t-1)^2)^2+((t+1)^2)^2=4 \]

\( (t^2-2t+1)^2+(t^2+2t+1)^2=4 \)

\( (t^2-2t)^2 + 2(t^2-2t)+1+(t^2+2t)^2+2(t^2+2t)+1=4 \)

\(t^4 -\cancel{4t^3} + 4t^2 + 2t^2 - \cancel{4t} +1 + t^4 + \cancel{4t^3} + 4t^2 + 2t^2 + \cancel{4t} + 1 = 4\)

\[ 2t^4+12t^2+2=4 \]

\[ 2t^4+12t^2+2-4=0 \]

\( 2t^4+12t^2-2=0 \)    \(/ : 2\)

\[ t^4+6t^2-1=0 \]

Пусть \( t^2=u \ge 0\):

\[ u^2+6u-1=0 \]

\(a = 1\),  \(b = 6\),  \(c = -1\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\( =6^2-4\cdot1\cdot(-1)=\)

\(=36+4=40 > 0 \) - два действительных корня.

\(u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),

\(\sqrt{40} = \sqrt{4\cdot10} =2\sqrt{10}\)

\[ u_{1,2}=\frac{-6\pm2\sqrt{10}}{2\cdot1} =\frac{\cancel2(-3\pm\sqrt{10})}{\cancel2}= \]

\[=-3\pm\sqrt{10} \]

1) Если \( u=-3+\sqrt{10} \), то

\[ t^2=-3+\sqrt{10} \]

\[ t=\pm\sqrt{-3+\sqrt{10}} \]

\[ x+4=\pm\sqrt{-3+\sqrt{10}} \]

\[ x=-4\pm\sqrt{-3+\sqrt{10}} \]

2) Если \( u=-3-\sqrt{10} \), то

\( t^2=-3-\sqrt{10} < 0 \) - действительных решений нет.

Ответ: \( x_1=-4+\sqrt{-3+\sqrt{10}},\)

\(x_2=-4-\sqrt{-3+\sqrt{10}} \).

Пояснения:

Сначала удобно заметить, что выражения \(x+3\) и \(x+5\) симметричны относительно числа \(x+4\). Поэтому вводим новую переменную:

\[ t=x+4. \]

Тогда:

\( x+3=t-1,\)

\(x+5=t+1. \)

После этого исходное уравнение становится более удобным:

\[ (t-1)^4+(t+1)^4=4. \]

Далее раскрываем скобки, учитывая свойства степени и формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений:

\((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\),

\((a^m)^n = a^{mn}\),

\((ab)^m = a^mb^m\).

При сложении выражений \((t-1)^4\) и \((t+1)^4\) члены с нечётными степенями взаимно уничтожаются:

\( -4t^3+4t^3=0,\)

\(-4t+4t=0. \)

Поэтому получается уравнение только с чётными степенями:

\[ 2t^4+12t^2+2=4. \]

После переноса числа \(4\) в левую часть имеем:

\[ 2t^4+12t^2-2=0. \]

Разделим всё уравнение на \(2\):

\[ t^4+6t^2-1=0. \]

Это биквадратное уравнение. Такие уравнения удобно решать заменой:

\[ u=t^2. \]

Тогда получаем квадратное уравнение:

\[ u^2+6u-1=0. \]

Находим дискриминант:

\[ D=b^2-4ac=36+4=40. \]

По формуле корней квадратного уравнения:

\[ u=\frac{-6\pm\sqrt{40}}{2}=-3\pm\sqrt{10}. \]

Теперь нужно помнить важное свойство: так как \(u=t^2\), то \(u\ge0\).

Поэтому значение

\[ u=-3-\sqrt{10} \]

не подходит, потому что оно отрицательное.

Остаётся только:

\[ u=-3+\sqrt{10}. \]

Тогда:

\[ t^2=-3+\sqrt{10}, \]

\[ t=\pm\sqrt{-3+\sqrt{10}}. \]

Возвращаемся к переменной \(x\), так как \(t=x+4\):

\[ x=t-4. \]

Отсюда получаем два решения:

\[ x=-4+\sqrt{-3+\sqrt{10}}, \]

\[ x=-4-\sqrt{-3+\sqrt{10}}. \]

Итак, исходное уравнение имеет два действительных решения.

а) \(14C_n^{n-2}=15A_{n-3}^{2}\)

\(14\cdot\dfrac{n!}{(n-2)!(n-(n-2))!} =15\cdot \frac{(n-3)!}{(n-3-2)!}\)

\(\dfrac{14n!}{(n-2)!(n-n+2)!} = \frac{15(n-3)!}{(n-5)!}\)

\(\dfrac{ ^{\color{blue}{7}} \cancel{14}n(n-1)\cancel{(n-2)!}}{\cancel{(n-2)!}\cdot\cancel2\cdot1} = \frac{15(n-3)(n-4)\cancel{(n-5)!}}{\cancel{(n-5)!}}\)

\(7n(n-1) = 15(n-3)(n-4)\)

\(7n^2 - 7n = 15(n^2 - 4n - 3n + 12)\)

\(7n^2 - 7n = 15(n^2 - 7n + 12)\)

\(7n^2 - 7n = 15n^2 - 105n + 180\)

\(7n^2 - 7n - 15n^2 + 105n - 180=0\)

\(-8n^2 + 98n - 180 = 0\)    \(/ : (-2)\)

\(4n^2 - 49n + 90 = 0\)

\(a = 4\),  \(b = -49\),  \(c = 90\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(= (-49)^2 - 4\cdot4\cdot90 = \)

\(=2401 - 1440 = 961 > 0 \) - два действительных корня.

\(n_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{961} = 31\)

\(n_1 =\frac{49 + 31}{2\cdot4} = \frac{80}{8} = 10\).

\(n_2 =\frac{49 - 31}{2\cdot4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2,25 \notin N\).

Ответ: \(n=10\).

б) \(6C_n^{n-3}=11A_{n-1}^{2}\)

\(6\cdot \frac{n!}{(n-3)!(n - (n-3))!} = 11\cdot\frac{(n-1)!}{(n - 1 - 2)!}\)

\(\frac{6n!}{(n-3)!(n - n+3)!} = \frac{11(n-1)!}{(n - 3)!}\)

\(\frac{6n!}{(n-3)!\cdot3!} = \frac{11(n-1)!}{(n - 3)!}\)   \(/\times (n - 3)!\)

\(\frac{6n!}{3!} = 11(n-1)!\)

\(\frac{\cancel6n(n-1)!}{\cancel3\cdot\cancel2\cdot1} = 11(n-1)!\)

\(n(n-1)! = 11(n-1)!\)   \(/ : (n-1)!\)

\(n = 11\)

Ответ: \(n=11\).

в) \(13C_{2n}^{n+1}=7C_{2n+1}^{n-1}\)

\(13\cdot \dfrac{(2n)!}{(n+1)!(2n-(n+1))!}=7\cdot \dfrac{(2n+1)!}{(n-1)!((2n+1)-(n-1))!}\)

\(\dfrac{13\cdot(2n)!}{(n+1)!(2n-n-1)!}= \dfrac{7\cdot(2n+1)!}{(n-1)!(2n+1-n+1)!}\)

\( \dfrac{13\cdot(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}= \dfrac{7\cdot(2n+1)(2n)!}{(n-1)!(n+2)!}\)  \(/ : (2n)!\)

\( \dfrac{13}{(n+1)!(n-1)!}= \dfrac{7\cdot(2n+1)}{(n-1)!(n+2)(n+1)!}\)  \(/\times (n-1)!(n+1)!(n+2)\)

\(13(n+2) = 7(2n+1)\)

\(13n + 26 = 14n + 7\)

\(13n - 14n = 7 - 26\)

\(-n = - 19\)

\(n = 19\)

Ответ: \(n=19\).

г) \(21C_{2n}^{n+1}=11C_{2n+1}^{n-1}\)

\(21\cdot \dfrac{(2n)!}{(n+1)!(2n-(n+1))!}=11\cdot \dfrac{(2n+1)!}{(n-1)!((2n+1)-(n-1))!}\)

\( \dfrac{21\cdot(2n)!}{(n+1)!(2n-n-1)!}= \dfrac{11\cdot(2n+1)!}{(n-1)!(2n+1-n+1)!}\)

\( \dfrac{21\cdot(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}= \dfrac{11\cdot(2n+1)\cdot(2n)!}{(n-1)!(n+2)!}\)   \(/ : (2n)!\)

\( \dfrac{21}{(n+1)!(n-1)!}= \dfrac{11\cdot(2n+1)}{(n-1)!(n+2)(n+1)!}\)  \(/\times (n-1)!(n+2)(n+1)!\)

\(21(n+2) = 11(2n+1)\)

\(21n + 42 = 22n + 11\)

\(21n - 22n = 11 - 42\)

\(-n = -31\)

\(n = 31\)

Ответ: \(n=31\).

Пояснения:

Факториал:

\(n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot ... \cdot 3\cdot2\cdot1\)

Используем формулы комбинаторики:

- сочетания:

\[ C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}; \]

- размещения:

\[ A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}. \]