Упражнение 849 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x^2-2mx+m^2-1=0\)

\(a=1\),  \(b = -2m\),  \(c = m^2-1\)

\(D=b^2-4ac=\)

\(=(-2m)^2-4(m^2-1)=\)

\(=4m^2-4m^2+4=4>0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt 4 = 2\)

\(x_1=\dfrac{2m-2}{2\cdot1}=\dfrac{\cancel2(m-1)}{\cancel2}=m-1\).

\(x_2=\dfrac{2m+2}{2\cdot1}=\dfrac{\cancel2(m+1)}{\cancel2}=m+1\).

\(\begin{cases} -2 < x_1 < 4,\\ -2 < x_2 < 4\end{cases}\)

\(\begin{cases} -2 < m-1 < 4, \\ -2 < m+1 < 4\end{cases}\)

\(\begin{cases} -2 + 1 < m-1+1 < 4+1, \\ -2-1 < m+1-1 < 4-1\end{cases}\)

\(\begin{cases} -1 < m < 5, \\ -3 < m < 3\end{cases}\)

Ответ: \(m \in (-1; 3)\).

Пояснения:

1. Нахождение корней.

Сначала решаем квадратное уравнение. Дискриминант равен \(4\), поэтому корни всегда действительные:

\[x_1=m-1,\qquad x_2=m+1.\]

2. Условие принадлежности интервалу.

По условию оба корня должны лежать внутри интервала \((-2;4)\). Поэтому для каждого корня записываем двойное неравенство и составляем из них систему.

3. Решение неравенств.

Из условий получаем два промежутка для \(m\). Чтобы оба корня одновременно лежали в интервале, нужно взять пересечение этих промежутков.

2 человека из 5 сотрудников.

3 человека из 8 сотрудников.

\(C_5^2 \cdot C_8^3 =\dfrac{5!}{2!(5-2)!} \cdot\dfrac{8!}{3!(8-3)!} =\)

\(=\dfrac{5!}{2!\cdot3!} \cdot\dfrac{8!}{3!\cdot5!} =\)

\(=\dfrac{5\cdot\cancel4  ^{\color{blue}{2}} \cdot\cancel{3!}}{\cancel2\cdot1\cdot\cancel{3!}} \cdot\dfrac{8\cdot7\cdot\cancel{6}\cdot\cancel{5!}}{\cancel3\cdot\cancel2\cdot1\cdot\cancel{5!}} =\)

\(= 5\cdot2 \cdot 8\cdot7 = 560\)

Ответ: \(560\) способов.

Пояснения:

Используем сочетания, так как порядок выбора сотрудников не важен, важно только, кто именно выбран.

Формула сочетаний:

\[ C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \]

Из 5 ведущих выбираем 2:

\[ C_5^2 = \dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1} = 10 \]

Из 8 старших сотрудников выбираем 3:

\[ C_8^3 = \dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1} = 56 \]

Так как выбор из двух групп независим, применяем правило умножения:

\[ C_5^2 \cdot C_8^3 = 10 \cdot 56 = 560 \]