Умножение натуральных чисел

Определение

Умножение - одна из операций математики, предназначена для упрощения сложения одинаковых чисел.

Например: 4 + 4 + 4 = 4 · 3 = 12.

Умножение обозначают точкой "·" или крестиком "х".

Числа, которые умножаются, называют "множителями", результат умножения, называют "произведением"

Пример:   

Алгоритм умножения чисел

Разберем порядок умножения чисел на примере. Умножим число 25 на 16

1. Сначала записываем множители в столбик. 

Второй множитель записывается под первым множителем так, что разряды второго множителя находились под соответствующими разрядами первого множителя, т.е.  единицы второго множителя записываются под единицами первого, десятки под десятками и т.д. Снизу под записанными множителями проводится горизонтальная линия, а слева ставится знак умножения. 

2. Производим последовательное умножение.

Сначала число, обозначающее разряд единиц класса единиц второго множителя последовательно умножаем на все разряды первого множителя.

Умножим цифру 6 на 5, получаем 30 - 3 десятка 0 единиц. 0 запишем под единицами, 3 "запомним". После этого 6 умножаем на цифру десятков первого множителя на 2, получаем 12. Прибавим к 12 получившиеся в предыдущем действии десятки, т.е. 3, в результате получаем 15. Поскольку разрядов в первом множителе больше нет., запишем число 15 под десятками. Первое неполное произведение 150.

3. Найдем второе неполное произведение. Последовательно умножим десятки второго множителя - 1 на все разряды первого слагаемого. Сначала 1 умножим на 5, получаем 5, запишем полученное произведение под десятками. После этого 1 умножаем на 2, получим 2, записываем 2 впереди 5. Второе неполное произведение 25. Поскольку мы умножали десяток второго слагаемого на первое слагаемое, запись второго неполного произведения 25 будет находиться под разрядом десятков. Получается "смещение" числа влево. 

4. Последовательно сложим цифры полученных неполных произведений по правилам сложения.

Свойства умножения натуральных чисел.

1. Переместительное свойство умножения.

a · b = b · a 

От перемены мест множителей произведение не изменится.

12 · 4 = 4 · 12

12 · 4 = 48

4 · 12 = 48

2. Сочетательное свойство умножения.

a · (b · c) = (a · b) · c

Произведение не зависит от группировки сомножителей.

2 · (3 · 6) = (2 · 3) · 6

2 · (3 · 6) = 36

1) 3 · 6 = 18; 2) 18 · 2 = 36

(2 · 3) · 6 = 36

1) 2 · 3 = 6; 2) 6 · 6 = 36

3. Распределительное свойство умножения относительно сложения.

a · (b + c) = ab + ac

При умножении числа на сумму двух других чисел, можно данное число умножить на каждое из слагаемых, а полученные результаты сложить.

3 · (5 + 4) = 3 · 5 + 3 · 4

3 · (5 + 4) = 27

1) 5 + 4 = 9; 2) 9 · 3 = 27

3 · 5 + 3 · 4 = 27

1) 3 · 5 = 15; 2) 3 · 4 = 12; 3) 12 + 15 = 27

4. Распределительное свойство умножения относительно вычитания

a · (b - c) = ab - ac

При умножении числа на разность двух других чисел, можно данное число умножить на уменьшаемое и на вычитаемое, а полученные результаты вычесть.

6 · (7 - 5) = 6 · 7 - 6 · 5

6 · (7 - 5) = 12

1) 7 - 5 = 2; 2) 2 · 6 = 12

6 · 7 - 6 · 5 = 12

1) 6 · 7 = 42; 2) 6 · 5 = 30; 3) 42 - 30 = 12

5. Свойство умножения единицы на натуральное число

a · 1 = a

При умножении единицы на любое число, получим равное ему число.

1 · 76 = 76

6. Свойство умножения нуля на натуральное число

0 · a = 0

При умножении 0 на любое число, получим 0

0 · 123 = 0

Произведение всех натуральных чисел от 1 до называют факториал, записывают: , читают: "эн факториал". Следовательно, справедливо равенство:

= 123...

Пример:

3! = 123 = 6;

5! = 12345 =120.