Упражнение 852 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases}(x^2+y^2)(x-y)=447,\\ xy(x-y)=210\end{cases}\)

\(\begin{cases}x-y=\dfrac{447}{x^2+y^2},\\ xy\cdot\dfrac{447}{x^2+y^2}=210\end{cases}\)

\(\begin{cases}x-y=\dfrac{447}{x^2+y^2},\\ 447xy=210(x^2+y^2)\end{cases}\)

\(\begin{cases}x-y=\dfrac{447}{x^2+y^2},\\ 447xy=210x^2+210y^2\end{cases}\)

\(\begin{cases}x-y=\dfrac{447}{x^2+y^2},\\ 210x^2 - 447xy+210y^2 = 0\end{cases}\)

\( 210x^2 - 447xy+210y^2 = 0\)   \(/ : y^2\)

\( 210\frac{x^2}{y^2} - 447\frac{x}{y}+210 = 0\) 

Пусть \(\frac{x}{y} = t\):

\( 210t^2 - 447t+210 = 0\)   \(/ : 3\)

\( 70t^2 - 149t+70 = 0\) 

\(a = 70\),   \(b = -149\),   \(c = 70\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\( = (-149)^2 - 4\cdot70\cdot70 = \)

\( = 22201 - 19600 = 2601 > 0\) - два действительных корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),     \(\sqrt{2601} = 51\)

\(t_{1} = \frac{149 + 51}{2\cdot70}= \frac{200}{140}=\frac{10}{7}\)

\(t_{2} = \frac{149 - 51}{2\cdot70}= \frac{98}{140}=\frac{7}{10}\)

1) Если \(t =\frac{10}{7}\), то

\(\frac{x}{y} = \frac{10}{7}\)

\(10y = 7x\)

\(y = \frac{7}{10}{x}\)

\(y = 0,7x\)

\(\begin{cases}y = 0,7x,\\ xy(x-y)=210\end{cases}\)

\(\begin{cases}y = 0,7x,\\ x\cdot0,7x(x - 0,7x)=210\end{cases}\)

\(x\cdot0,7x(x - 0,7x)=210\)

\(0,7x^2 \cdot 0,3x = 210\)

\(0,21x^3 = 210\)

\(x^3 = \frac{210}{0,21}\)

\(x^3 = \frac{21000}{21}\)

\(x^3 = 1000\)

\(x = 10\)

\(y = 0,7\cdot10 = 7\)

2) Если \(t =\frac{7}{10}\), то

\(\frac{x}{y} = \frac{7}{10}\)

\(10x = 7y\)

\(x = \frac{7}{10}{y}\)

\(x = 0,7y\)

\(\begin{cases}x = 0,7y,\\ xy(x-y)=210\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = 0,7y,\\ 0,7y\cdot y(0,7y-y)=210\end{cases}\)

\(0,7y\cdot y(0,7y-y)=210\)

\(0,7y^2 \cdot (-0,3y) = 210\)

\(-0,21y^3 = 210\)

\(y^3 = -\frac{210}{0,21}\)

\(y^3 = -\frac{21000}{21}\)

\(y^3 = -1000\)

\(y = -10\)

\(x = 0,7\cdot(-10) = -7\)

Ответ: \((10;7),\;(-7;-10)\).

б) \(\begin{cases}xy(x+y)=30,\\ x^3+y^3=35\end{cases}\)

\(\begin{cases}xy(x+y)=30,\\ (x+y)(x^2 - xy + y^2)=35\end{cases}\)

\(\begin{cases}xy\cdot\dfrac{35}{x^2 - xy + y^2}=30,\\[8pt] x+y=\dfrac{35}{x^2 - xy + y^2}\end{cases}\)

\(xy\cdot\dfrac{35}{x^2 - xy + y^2}=30\)

\(35xy = 30(x^2 - xy + y^2)\)  \(/ : 5\)

\(7xy = 6(x^2 - xy + y^2)\) 

\(7xy = 6x^2 -6xy + 6y^2\)

\(6x^2 -6xy + 6y^2 - 7xy = 0\)

\(6x^2 -13xy + 6y^2 = 0\)  \(/ : xy\)

\(6\frac{x}{y} -13 + 6\frac{y}{x} = 0\)

Пусть \(\frac{x}{y} = t\), тогда \(\frac{y}{x} = \frac1t\):

\(6t -13 + 6\frac{1}{t} = 0\)  \(/\times t\)

\(6t^2 -13t + 6= 0\)

\(a = 6\),  \(b = -13\),  \(c = 6\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\( = (-13)^2 - 4\cdot6\cdot6 =\)

\( = 169 - 144 = 25 > 0\) - два действительных корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{25} = 5\).

\(t_1 = \frac{13 + 5}{2\cdot6} = \frac{18}{12} = \frac32 \)

\(t_2 = \frac{13 - 5}{2\cdot6} = \frac{8}{12} = \frac23\)

1) Если \(t = \frac32\), то

\(\frac{x}{y} = \frac32\)

\(x = \frac32y\)

\(\begin{cases}x = \dfrac32y,\\ x^3+y^3=35\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = \dfrac32y,\\ \left(\dfrac32y\right)^3+y^3=35\end{cases}\)

\(\left(\dfrac32y\right)^3+y^3=35\)

\(\dfrac{27}{8}y^3+y^3=35\)

\(\dfrac{35}{8}y^3=35\)  \(/ : 35\)

\(\dfrac{1}{8}y^3=1\)   \(/\times8\)

\(y^3 = 8\)

\(y = 2\)

\(x = \frac32\cdot2 = 3\).

2)  Если \(t = \frac23\), то

\(\frac{x}{y} = \frac23\)

\(2y = 3x\)

\(y = \frac32x\)

\(\begin{cases}y = \dfrac32x,\\ x^3+y^3=35\end{cases}\)

\(\begin{cases}x = \dfrac32y,\\ x^3+\left(\dfrac32x\right)^3=35\end{cases}\)

\(x^3+\left(\dfrac32x\right)^3=35\)

\(x^3+\dfrac{27}{8}x^3=35\)

\(\dfrac{35}{8}x^3=35\)  \(/ : 35\)

\(\dfrac{1}{8}x^3=1\)   \(/\times8\)

\(x^3 = 8\)

\(x = 2\)

\(y = \frac32\cdot2 = 3\).

Ответ: \((2;3),\;(3;2)\).

Пояснения:

Каждую систему решаем методом подстановки в несколько этапов. В результате преобразований получаем дробное рациональное уравнение, которое решаем заменой переменной, получая полное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение

\(ax^2 + bx +c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

а) \(\dfrac{P_6 - P_4}{P_5}=\dfrac{6! - 4!}{5!} = \)

\(=\dfrac{6\cdot5\cdot4! - 4!}{5\cdot4!} = \dfrac{\cancel{4!}\cdot(6\cdot5 - 1)}{5\cdot\cancel{4!}} =\)

\(=\dfrac{30-1}{5} = \dfrac{29}{5} = 5,8 \)

б) \(\dfrac{P_{12} + P_{13}}{P_{11}}=\dfrac{12! + 13!}{11!} =\)

\(=\dfrac{12\cdot 11! + 13\cdot 12\cdot 11!}{11!} =\)

\(=\dfrac{12\cdot\cancel{11!}\cdot(1 + 13)}{\cancel{11!}} =\)

\(=12\cdot(1+13) =12\cdot14= 168\)

в) \(\dfrac{A_8^4 - A_8^3}{A_7^3 - A_7^2} =\dfrac{\dfrac{8!}{4!} - \dfrac{8!}{5!}}{\dfrac{7!}{4!} - \dfrac{7!}{5!}}=\)

\(=\dfrac{\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot\cancel{4!}}{\cancel{4!}} - \dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot\cancel{5!}}{\cancel{5!}}}{\dfrac{7\cdot6\cdot5\cdot\cancel{4!}}{\cancel{4!}} - \dfrac{7\cdot6\cdot\cancel{5!}}{\cancel{5!}}}= \)

\(=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5 - 8\cdot7\cdot6}{7\cdot6\cdot5 - 7\cdot6}=\)

\(=\frac{8\cdot\cancel7\cdot\cancel6\cdot\cancel{(5 - 1)}}{\cancel7\cdot\cancel6\cdot\cancel{(5 - 1)}}=8\)

г) \(\dfrac{C_6^3 - C_6^2}{A_6^2} = \frac{\dfrac{6!}{3!\cdot3!}-\dfrac{6!}{2!\cdot4!}}{\dfrac{6!}{4!}}=\)

\(= \frac{\dfrac{\cancel6\cdot5\cdot4\cdot\cancel{3!}}{\cancel3\cdot\cancel2\cdot1\cdot\cancel{3!}}-\dfrac{ ^{\color{blue}{3}}\cancel{6}\cdot5\cdot\cancel{4!}}{\cancel{2}\cdot1\cdot\cancel{4!}}}{\dfrac{6\cdot5\cdot\cancel{4!}}{\cancel{4!}}}=\)

\(=\frac{5\cdot4 - 3\cdot5}{6\cdot5} =\frac{20 - 15}{30} =\)

\(=\frac{5}{30}= \frac16 \)

Пояснения:

Используем основные формулы комбинаторики:

Факториал:

\(n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2) \cdot ... \cdot 2\cdot1\).

Перестановки:

\[ P_n = n! \]

Размещения:

\[ A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} \]

Сочетания:

\[ C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \]