Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№850 учебника 2023-2026 (стр. 210):
При каких значениях \(a\) биквадратное уравнение
\(x^4+ax^2+a-1=0\)
имеет только два различных корня?
№850 учебника 2014-2022 (стр. 217):
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трёхзначные числа (допускается повторение цифр). Сколько среди них таких, сумма цифр которых равна:
а) 3;
б) 4;
в) 6?
№850 учебника 2023-2026 (стр. 210):
Вспомните:
№850 учебника 2014-2022 (стр. 217):
Вспомните перестановки.
№850 учебника 2023-2026 (стр. 210):
\(x^4+ax^2+a-1=0\)
Пусть \(t=x^2\), то
\(t^2+at+a-1=0\)
\(D=a^2-4\cdot1\cdot(a-1)=\)
\(=a^2-4a+4=\)
\(=(a-2)^2 \ge 0\)
1) Если \(D = 0\), то уравнение имеет один действительный корень.
\((a-2)^2= 0\)
\(a - 2 = 0\)
\(a = 2\), тогда
\(t^2+2t+2-1=0\)
\(t^2+2t+1=0\)
\((t + 1)^2 =0\)
\(t + 1 = 0\)
\(t = -1\)
\(x^2 = -1\) - не имеет действительных решений.
2) Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня.
\(\sqrt{(a-2)^2}= |a-2|\)
\(t_1=\dfrac{-a+|a-2|}{2}\)
\(t_2=\dfrac{-a-|a-2|}{2}\)
3) \(x^2=\dfrac{-a+|a-2|}{2}\)
Если \(a - 2 > 0\), то есть \(a > 2\), то
\(x^2=\dfrac{-\cancel a+\cancel a-2}{2}\)
\(x^2= -\frac22\)
\(x^2=-1\) - не имеет действительных корней.
Если \(a - 2 < 0\), то есть \(a > 2\), то
\(x^2=\dfrac{-a-a+2}{2}=\dfrac{-2a+2}{2} =\)
\(=-a + 1\)
\(-a + 1 > 0\)
\(-a > -1\)
\(a < 1\) - не удовлетворяет условию \(a > 2\), поэтому корней нет.
4) \(x^2=\dfrac{-a-|a-2|}{2}\)
Если \(a - 2 > 0\), то есть \(a > 2\), то
\(x^2=\dfrac{-a-a+2}{2}\)
\(x^2=\frac{-2a + 2}{2}\)
\(x^2 = -a + 1\)
\(-a + 1 > 0\)
\(-a > - 1\)
\(a < 1\) - удовлетворяет условию \(a < 2\), тогда уравнение имеет два корня:
\(x =\pm \sqrt{-a + 1}\)
Если \(a - 2 < 0\), то есть \(a > 2\), то
\(x^2=\dfrac{-\cancel a+\cancel a-2}{2}\)
\(x^2 = -1\) - не имеет действительных корней.
Ответ: при \(a<1\).
Пояснения:
1. Биквадратное уравнение.
Уравнение вида
\[x^4+ax^2+b=0\]
решается заменой переменной \(t=x^2\).
2. Решение квадратного уравнения.
После замены получаем обычное квадратное уравнение относительно \(t\). Найдя его корни, возвращаемся к переменной \(x\).
3. Количество корней.
Каждое положительное значение \(t\) даёт два корня \(x=\pm\sqrt{t}\), нулевое — один корень, отрицательное — не даёт действительных корней.
4. Анализ.
Один из корней \(t=-1\) всегда отрицательный, поэтому он не даёт действительных корней. Второй корень \(t=-a+1\) должен быть положительным, чтобы уравнение имело два различных действительных корня.
№850 учебника 2014-2022 (стр. 217):
\(1; 2; 3; 4; 5\)
а) \(111\)
Ответ: \(1\) число.
б) \(1+1+2=4\)
\(112; \, 121; \, 211\)
Ответ: \(3\) числа.
в) \(1+1+4=6\):
\(114; \, 141; \, 411\) - три числа.
\(1+2+3=6 \):
\(123; \, 132; \, 213; \, 231; \, 312; \, 321\) - шесть чисел.
\(2+2+2=6\):
\(222\) - одно число.
\(3+6+1=10\) - всего чисел.
Ответ: \(10\) чисел.
Пояснения:
Так как цифры могут повторяться, рассматриваем все возможные тройки цифр из множества \(\{1,2,3,4,5\}\), сумма которых равна заданному числу.
а) Сумма 3 возможна только как:
\[ 1+1+1 \]
Даёт одно число: 111.
б) Сумма 4:
\[ 1+1+2 \]
Перестановки этих цифр дают:
\[ 112,\; 121,\; 211 \]
Всего 3 числа.
в) Сумма 6:
Возможные разложения:
\(1+1+4\) → перестановки:
\(114,\; 141,\; 411\) — 3 числа
\(1+2+3\) → все различны:
\(123,\; 132,\; 213,\; 231,\; 312,\; 321\) — 6 чисел
\(2+2+2\):
\(222\) — 1 число
Складываем:
\[ 3 + 6 + 1 = 10 \]
Таким образом, перебираются все возможные наборы цифр с нужной суммой и считаются их перестановки.
Вернуться к содержанию учебника