Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№843 учебника 2023-2026 (стр. 209):
При каком значении \(a\) графики функций \(y=x^2-7x+a\) и \(y=-3x^2+5x-6\) имеют единственную общую точку? Найдите её координаты.
№843 учебника 2014-2022 (стр. 217):
Сколько команд участвовало в финале первенства, если известно, что каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника, причём всего было сыграно 30 игр?
№843 учебника 2023-2026 (стр. 209):
Вспомните:
№843 учебника 2014-2022 (стр. 217):
Вспомните:
№843 учебника 2023-2026 (стр. 209):
\(\begin{cases}y=x^2-7x+a,\\ y=-3x^2+5x-6\end{cases}\)
\(x^2-7x+a=-3x^2+5x-6\)
\(x^2-7x+a+3x^2-5x+6=0\)
\(4x^2-12x+(a+6)=0\)
\(D=(-12)^2-4\cdot4\cdot(a+6)=\)
\(=144-16(a+6)=\)
\(=144-16a-96=48-16a\)
Для одной общей точки:
\(D=0\)
\(48-16a=0\)
\(-16a = -48\)
\(a = \frac{-48}{-16}\)
\(a=3\)
\(4x^2-12x+(3+6)=0\)
\(4x^2-12x+9=0\)
\((2x-3)^2=0\)
\(2x-3 = 0\)
\(2x = 3\)
\(x=\dfrac{3}{2}\)
\(x = 1,5\)
\(y=x^2-7x+3\)
\(y=1,5^2-7\cdot1,5+3=\)
\(=2,25-10,5+3=-5,25\)
Ответ: \(a=3\), общая точка \((1,5; -5,25)\).
Пояснения:
1. Точки пересечения графиков.
Чтобы найти общие точки двух графиков, приравнивают их правые части. Получается уравнение относительно \(x\).
2. Условие одной общей точки.
Если после приравнивания получается квадратное уравнение, то единственная точка пересечения существует тогда, когда дискриминант равен нулю:
\[D=b^2-4ac=0.\]
3. Нахождение координат точки.
После нахождения параметра \(a\) уравнение имеет один корень \(x\). Подставляя его в любую из функций, получаем соответствующее значение \(y\).
№843 учебника 2014-2022 (стр. 217):
Пусть было \(n\) команд (\(n > 0\)).
\(2 \cdot C_n^2 = 30\)
\(2 \cdot \frac{n!}{2!(n - 2)!} = 30\)
\(2 \cdot \frac{\cancel{(n-2)!}\cdot(n-1)\cdot n}{2!\cancel{(n - 2)!}} = 30\)
\(2 \cdot \dfrac{n(n-1)}{2} = 30\)
\(n(n-1) = 30\)
\(n^2 - n - 30 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -30\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(= (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-30) = \)
\(=1 + 120 = 121 > 0\) - два действительных корня.
\(n_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt D}{2a}\), \(\sqrt {121} = 11\).
\(n_1 = \frac{1 + 11}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).
\(n_2 = \frac{1 - 11}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5\) - не удовлетворяет условию.
Ответ: \(6\) команд.
Пояснения:
Каждая пара команд играет между собой 2 игры: одна дома, одна в гостях.
Сначала считаем количество пар команд. Для этого используем сочетания:
\[ C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2} \]
Но каждая пара играет 2 игры, поэтому общее число игр:
\[ 2 \cdot C_n^2 \]
По условию это равно 30:
\[ 2 \cdot \dfrac{n(n-1)}{2} = 30 \]
Сокращаем:
\[ n(n-1)=30 \]
Получаем квадратное уравнение:
\[ n^2 - n - 30 = 0, \]
которое решаем через дискриминант. Уравнение имеет два действительных корня, но отрицательный корень не подходит, так как количество команд не может быть отрицательным числом.
Значит, в турнире участвовало 6 команд.
Вернуться к содержанию учебника