Упражнение 841 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y=2x^2-3|x|-2\)

1) Если \(x\ge0\), то

\(y=2x^2-3x-2\) - парабола, ветви направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\).

\(x_0= -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2\cdot2} = \frac34 = 0,75\)

\(y_0 = 2\cdot 0,75^2 - 3\cdot0,75 - 2 =\)

\( = 1,125 - 2,25 - 2 = \)

\(=1,125 - 4,25 = -3,125\).

Вершина: \((0,75;  -3,125)\).

2) Если \(x<0\), то

\(y=2x^2+3x-2\) - парабола, ветви направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\).

\(x_0= -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2\cdot2} = -\frac34 = -0,75\)

\(y_0 = 2\cdot (-0,75)^2 + 3\cdot(-0,75) - 2 =\)

\( = 1,125 - 2,25 - 2 = \)

\(=1,125 - 4,25 = -3,125\).

Вершина: \((0,75;  -3,125)\).

б) \(y=\left|\dfrac12 x^2-x\right|-4\)

\(\dfrac12 x^2-x = 0\)

\( x\left(\dfrac12x-1\right) = 0\)

\(x = 0\)  или  \(\dfrac12x-1 = 0\)

                     \(\dfrac12x=1\)  \(/\times2\)

                     \(x = 2\)

1) Если \(x \le 0\) и \(x \ge 2\), то

\(\dfrac12 x^2-x \ge 0\), тогда

\(y=\dfrac12 x^2-x-4\) - парабола, ветви направлены вверх, так как \(a = \frac12 > 0\).

\(x_0= -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2\cdot\frac12} =1\)

\(y_0=\dfrac12 \cdot 1^2-1-4= \)

\(=\dfrac12 - 1 - 4 = -4\dfrac12 = -4,5\)

Вершина: \((1; -4,5)\)

2) Если \(0 < x < 2\), то

\(y=-\dfrac12 x^2+x-4\) - парабола, ветви направлены вниз, так как \(a = -\frac12 < 0\).

\(x_0= -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2\cdot(-\frac12)} =1\)

\(y_0=-\dfrac12 \cdot1^2+1-4 = -3,5\) 

Вершина: \((1; -3,5)\)

 Пояснения:

1. Как строить графики с модулем.

Если в формуле есть \(|x|\), то рассматривают два случая: \(x\ge0\) и \(x<0\), заменяя \(|x|\) на \(x\) или \(-x\).

Если модуль стоит на выражении \(|A(x)|\), то нужно найти, где \(A(x)\ge0\), а где \(A(x)<0\):

\[|A(x)|=\begin{cases}A(x),&A(x)\ge0,\\-A(x),&A(x)<0.\end{cases}\]

2. Пункт а).

Получились две параболы:

\(y=2x^2-3x-2\) (для \(x\ge0\)) и

\(y=2x^2+3x-2\) (для \(x<0\)).

Они симметричны относительно оси \(Oy\), поэтому достаточно построить правую часть и отразить её влево.

3. Пункт б).

Сначала разобрали знак выражения \(\dfrac12 x^2-x=\dfrac12 x(x-2)\). На промежутках, где оно неотрицательно, модуль не меняет знак, а где отрицательно — меняет на противоположный. Поэтому график состоит из частей двух парабол, которые соединяются в точках \(x=0\) и \(x=2\) (там подмодульное выражение равно нулю, и \(y=-4\)).

а) \(C_{24}^{2} =\frac{24!}{2!(24-2)!} =\frac{24!}{2!\cdot22!} =\)

\(=\frac{\cancel{22!}\cdot23\cdot\cancel{24} ^{\color{blue}{12}} }{1\cdot\cancel2\cdot\cancel{22!}} =23\cdot12= 276\)

Ответ: \(276\) способов.

б) \(A_{24}^{2} =\dfrac{24!}{(24 - 2)!} = \dfrac{\cancel{22!}\cdot23\cdot24}{\cancel{22!}}=\)

\(=24 \cdot 23 = 552\)

Ответ: \(552\) способа.

Пояснения:

а) В первом случае порядок не важен: два дежурных не различаются по ролям. Поэтому используется формула сочетаний:

\[ C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \]

Подставляем:

\[ C_{24}^2 = \dfrac{24!}{2!\cdot 22!} = 276 \]

б) Во втором случае порядок важен, так как староста и помощник — разные роли. Поэтому используем размещения:

\[ A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} \]

Или проще: сначала выбираем старосту (24 способа), затем помощника (23 способа):

\[ 24 \cdot 23 = 552 \]

Таким образом, различие между задачами — в учёте порядка выбора.