Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№847 учебника 2023-2026 (стр. 210):
Сумма квадратов корней \(x_1\) и \(x_2\) уравнения \(x^2-3ax+a^2=0\) равна \(1{,}75\). Найдите \(x_1\) и \(x_2\).
№847 учебника 2014-2022 (стр. 217):
Из группы туристов требуется выбрать дежурного и его помощника. Если бы туристов было на одного больше, то число возможностей выбора было бы в 1,25 раза больше. Сколько туристов в группе?
№847 учебника 2023-2026 (стр. 210):
Вспомните:
№847 учебника 2014-2022 (стр. 217):
Вспомните:
№847 учебника 2023-2026 (стр. 210):
\(x^2-3ax+a^2=0\)
\(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения.
По теореме обратной теореме Виета:
\(\begin{cases}x_1+x_2=3a,\\ x_1x_2=a^2\end{cases}\)
\(x_1^2+x_2^2=\)
\(=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=\)
\(=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\)
\(=(3a)^2-2a^2=9a^2-2a^2=7a^2\)
\(7a^2=1{,}75\)
\(a^2 = \frac{1,75}{7}\)
\(a^2=0{,}25\)
\(a = \pm \sqrt{0,25}\)
\(a=\pm0{,}5\)
Если \(a=0{,}5\), то
\(x^2-1{,}5x+0{,}25=0\) \(/\times 4\)
\(4x^2-6x+1=0\)
\(D=(-6)^2-4\cdot4\cdot1=\)
\(=36-16=20 > 0\) - два действительных корня.
\(x_{1,2}=\dfrac{6\pm\sqrt{20}}{2\cdot4}=\dfrac{6\pm\sqrt{4\cdot5}}{8}=\)
\(=\dfrac{6\pm2\sqrt{5}}{8}=\dfrac{\cancel2(3\pm\sqrt{5})}{\cancel8_ {\color{blue}{4}} }=\)
\(=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{4}.\)
Если \(a=-0{,}5\):
\(x^2+1{,}5x+0{,}25=0\) \(/\times 4\)
\(4x^2+6x+1=0\)
\(D=6^2-4\cdot4\cdot1=\)
\(=36-16=20 > 0\) - два действительных корня.
\(x_{1,2}=\dfrac{-6\pm\sqrt{20}}{2\cdot4}=\dfrac{-6\pm\sqrt{4\cdot5}}{8}=\)
\(=\dfrac{-6\pm2\sqrt{5}}{8}=\dfrac{\cancel2(-3\pm\sqrt{5})}{\cancel8_ {\color{blue}{4}} }=\)
\(=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{4}.\)
Ответ: \(x_{1}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}\), \(x_{2}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}\)
или \(x_{1}=\dfrac{-3+\sqrt{5}}{4}\), \(x_{2}=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{4}\).
Пояснения:
1. Формулы Виета.
Для квадратного уравнения
\(x^2+px+q=0\):
\[x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.\]
В нашем уравнении
\[x^2-3ax+a^2=0,\]
поэтому:
\[x_1+x_2=3a,\qquad x_1x_2=a^2.\]
2. Сумма квадратов корней.
Используем тождество:
\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.\]
Подставляем значения из формул Виета:
\[x_1^2+x_2^2=(3a)^2-2a^2=7a^2.\]
3. Нахождение параметра.
По условию \(x_1^2+x_2^2=1{,}75\), значит
\[7a^2=1{,}75.\]
Отсюда \(a^2=0{,}25\), поэтому \(a=\pm0{,}5\).
4. Нахождение корней.
После подстановки найденных значений \(a\) в исходное уравнение получаем соответствующие значения корней.
№847 учебника 2014-2022 (стр. 217):
\(A_{n+1}^2 = 1,25\cdot A_n^2\)
\(\frac{(n+1)!}{(n + 1 - 2)!} = \frac{n!}{(n - 2)!}\)
\(\frac{(n+1)!}{(n - 1)!} = \frac{n!}{(n - 2)!}\)
\(\frac{(n+1)n\cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n - 1)!}} = \frac{n(n-1)\cancel{(n-2)!}}{\cancel{(n - 2)!}}\)
\((n+1)n = 1{,}25 \cdot n(n-1)\) \(/\times 4\)
\(4n(n+1) = 5n(n-1)\)
\(4n^2 + 4n = 5n^2 - 5n\)
\(4n^2 + 4n - 5n^2 + 5n = 0\)
\(-n^2 + 9n = 0\) \(/\times(-1)\)
\(n^2 - 9n = 0\)
\(n(n-9)=0\)
\(n = 0\) или \(n - 9 = 0\)
\(n=9\)
Ответ: в группе \(9\) туристов.
Пояснения:
Так как выбираются дежурный и помощник, роли различны, значит используется формула размещений:
\[ A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} \]
Для двух человек:
\[ A_n^2 = n(n-1) \]
Если туристов стало на одного больше, получаем:
\[ A_{n+1}^2 = (n+1)n \]
По условию новая величина в \(1{,}25\) раза больше старой:
\[ (n+1)n = 1,25n(n-1) \]
Умножаем обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:
\[ 4(n+1)n = 5n(n-1) \]
Раскрываем скобки:
\[ 4n^2 + 4n = 5n^2 - 5n \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ -n^2 + 9n = 0 \]
Или:
\[ n^2 - 9n = 0 \]
Выносим общий множитель:
\[ n(n-9)=0 \]
Так как число туристов не может быть нулём, получаем:
\[ n=9 \]
Значит, в группе 9 туристов.
Вернуться к содержанию учебника