Упражнение 845 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(mx^2+(m-1)x+m-1 < 0\)

\(a = m\),  \(b = m-1\),  \(c = m - 1\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(m-1)^2-4m(m-1)=\)

\(=(m-1)(m-1-4m)=\)

\(=(m-1)(-3m-1).\)

\(\begin{cases}m<0\\ D<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}m<0\\ (m-1)(-3m-1)<0\end{cases}\)

\((m-1)(-3m-1)<0\)

\((m-1)(-3m-1)=0\)

\(m-1 = 0\)  или  \(-3m - 1 = 0\)

\(m = 1\)                  \(-3m = 1\)

                               \(m = -\frac13\)

\(m<-\dfrac13\)

Ответ: при \(x \in \left( -\infty ; -\dfrac13\right)\).

Пояснения:

1. Когда квадратный трёхчлен всегда отрицателен.

Квадратичная функция \(y=ax^2+bx+c\) принимает только отрицательные значения при всех \(x\), если выполняются два условия:

\[a<0,\qquad D<0.\]

Первое условие означает, что ветви параболы направлены вниз. Второе условие означает, что график не пересекает ось \(Ox\), то есть функция нигде не обращается в нуль и потому вся лежит ниже оси \(Ox\).

2. Применение к данной функции.

У нас коэффициент при \(x^2\) равен \(m\), поэтому обязательно нужно:

\[m<0.\]

Далее вычисляем дискриминант квадратного трёхчлена:

\[D=(m-1)^2-4m(m-1).\]

После вынесения общего множителя получаем:

\[D=(m-1)(-3m-1).\]

3. Решение неравенства для дискриминанта.

Требуем \(D<0\). Это равносильно:

\[(m-1)(3m+1)>0.\]

Произведение двух множителей положительно, когда оба множителя одного знака. Отсюда:

\[m<-\frac13 \quad \text{или} \quad m>1.\]

Но из первого условия уже известно, что \(m<0\). Поэтому остаётся только

\[m<-\frac13.\]

Пусть на плоскости отмечены \(n\) точек (\(n > 0\)).

\(C_n^2 = 28\)

\(\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 28\)

\(\frac{n(n-1)\cancel{(n-2)!}}{2\cdot1\cdot\cancel{(n - 2)!}} = 28\)

\(\dfrac{n(n-1)}{2} = 28\)

\(n(n-1) = 56\)

\(n^2 - n - 56 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c = -56\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(= (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-56) = \)

\(=1 + 224 = 225 > 0\) - два действительных корня.

\(n_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{225} = 15\).

\(n_1 = \frac{1 + 15}{2\cdot1} = \frac{16}{2} = 8\).

\(n_2 = \frac{1 - 15}{2\cdot1} = \frac{-14}{2} = -7\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: \(8\) точек.

Пояснения:

Если никакие три точки не лежат на одной прямой, то каждая пара точек определяет ровно одну прямую.

Количество таких прямых равно числу способов выбрать 2 точки из \(n\), то есть сочетанию:

\( C_n^2 =\frac{n!}{2!(n - 2)!} =\)

\(=\frac{n(n-1)\cancel{(n-2)!}}{2\cdot1\cdot\cancel{(n - 2)!}} = \dfrac{n(n-1)}{2} \).

По условию таких прямых 28, значит:

\[ \dfrac{n(n-1)}{2} = 28 \]

Умножаем обе части на 2:

\[ n(n-1) = 56 \]

Получаем квадратное уравнение:

\[ n^2 - n - 56 = 0, \]

которое решаем через дискриминант и находим два корня: \(n = 8\) и  \(n = -7\). Но отрицательное значение не подходит, так как количество не может быть отрицательным числом, поэтому: \( n=8 \). Значит, было отмечено 8 точек.