Упражнение 838 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x^4-4x^3-6x^2-3x+9=\)

\(= (x^4 - 6x^2 + 9) - (4x^3 + 3x) =\)

\(=(x^2 - 3)^2 - x(4x^2 + 3)\)

\(x^2 - 3 \ge 0\) при любом \(x\).

\(4x^2 + 3 > 0\) - при любом \(x\).

Если \(x < 0\), то

\(-x > 0\)

\(- x(4x^2 + 3) > 0\)

\((x^2 - 3)^2 - x(4x^2 + 3) > 0\)

Значит, многочлен не имеет отрицательных корней.

Пояснения:

Если число \(x_0\) является корнем многочлена \(P(x)\), то \(P(x_0)=0\).

При доказательстве используем то, что квадрат любого числа является неотрицательным числом и то что \(-x > 0\) при отрицательном \(x\).

a) \(\dfrac{47!}{45!} = \dfrac{47\cdot 46 \cdot \cancel{45!}}{\cancel{45!}} = 47\cdot 46 =\)

\(=2162\)

б) \(\dfrac{20!}{15!\cdot 3!} = \dfrac{\cancel{20}  ^{\color{blue}{10}} \cdot 19\cdot \cancel{18}  ^{\color{blue}{6}} \cdot 17\cdot 16 \cdot \cancel{15!}}{\cancel{15!}\cdot \cancel3\cdot \cancel2\cdot 1} =\)

\(=10\cdot 19\cdot 6\cdot 17\cdot16 =190\cdot102\cdot16=\)

\(=19380\cdot16= 310\,080\)

в) \(\dfrac{16!}{11!\cdot 5!} = \dfrac{\cancel{16}  ^{\color{blue}{2}} \cdot \cancel{15}\cdot 14\cdot 13\cdot 12 \cdot \cancel{11!}}{\cancel{11!}\cdot \cancel5\cdot \cancel4\cdot \cancel3\cdot \cancel2\cdot 1} =\)

\(=2\cdot14\cdot 13\cdot 12=28\cdot156 = 4368\)

Пояснения:

Факториал числа \(n!\) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\):

\[ n! = 1\cdot 2\cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \]

При выполнении вычислений используется сокращение.